Question

如图所示，很长的光滑磁棒竖直固定在水平面上，在它的侧面有均匀向外的辐射状的磁场。磁棒外套有一个质量均匀的圆形线圈，质量为m，半径为R，电阻为r，线圈所在磁场处的磁感应强度为B。让线圈从磁棒上端由静止释放沿磁棒下落，经一段时间与水平面相碰并反弹，线圈反弹速度减小到零后又沿磁棒下落，这样线圈会不断地与水平面相碰下去，直到停留在水平面上。已知第一次碰后反弹上升的时间为t₁，下落的时间为t₂，重力加速度为，不计碰撞过程中能量损失和线圈中电流磁场的影响。求：

（1）线圈第一次下落过程中的最大速度；

（2）线圈从第一次到第二次与水平面相碰的过程中产生的焦耳热Q。

Answer 1

（1）线圈第一次下落过程中有

      ………………………………………………………………………（2分）

………………………………………………………………………………（1分）

………………………………………………………………（2分）

可知线圈做加速度减小的加速运动，当时，速度最大，代入求得：

    ……………………………………………………………（2分）

（2）反弹后上升的过程中某一时刻，由牛顿运动定律得：

        …………… ………………………（2分）

在一段微小时间内，速度增量为，线圈上升高度为

则线圈可上升的最大高度h为：（其中aΔt累积为V,vΔt累积为h）

… ……（2分）

线圈到达最高点后，下落过程中的某一时刻，由牛顿运动定律得：

…………………… ………………（2分）

在一段微小时间内，速度增量为，线圈下降高度为

则线圈第二次下降到水平面时的速度为

……（2分）

本过程中线圈中产生的热量为线圈动能的损失：

……（2分）

化简得：…… …………（2分）