Question

18．如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上．劲度系数为k的轻弹簧一端固定在斜面底端的固定挡板C上，另一端与质量为m的物体A（可视为质点）连接．细绳的一端系在物体A上，细绳有小挂钩的另一端跨过不计摩擦的定滑轮（小挂钩和细绳的质量不计），细绳与斜面平行．小挂钩不挂任何物体时，物体A静止于P点；在小挂钩上轻轻挂上一个质量也为m的物块B后，物体A沿斜面向上运动，物体A经过Q点位置时速度最大．斜面足够长，运动过程中物块B始终未接触地面，重力加速度大小为g，求：
（1）物体A刚开始运动时的加速度大小a；
（2）PQ的距离x；
（3）若仅把物块B的质量改为2m，挂上物块B后，物体A沿斜面上升到Q点位置时的速度v是多大．

Answer 1

分析 （1）分别对A与B进行受力分析，然后由牛顿第二定律可以求出加速度．
（2）当A的速度达到最大时，绳子的拉力与A的重力沿斜面向下的分力以及弹簧拉力的和，由受力的关系求出弹簧的形变量．
（3）由机械能守恒定律求出A的速度，然后求出物体A沿斜面上升到Q点位置时的速度v．

解答 解：（1）对A  T₁=ma                   ①
对B        mg-T₁=ma               ②
由①②式解得加速度$a=\frac{g}{2}$③
（2）当A静止时  mgsin30°=kx₁                     ④
当A的速度达到最大时
对A：T₂=mgsin30°+kx₂⑤
对B：T₂=mg               ⑥
又x=x₁+x₂          ⑦
由④～⑦式解得x₁=x₂=$\frac{mg}{2k}$⑧
PQ的距离${x_{\;}}=\frac{mg}{k}$⑨
（3）由⑧式知当A沿斜面上升到Q点时，弹簧的压缩量与伸长量相同，弹簧的弹性势能不变      
由机械能守恒有$2mgx-mgxsin{30°}=\frac{1}{2}（m+2m）v_{\;}^2$⑩
由⑨⑩式解得速度$v=\sqrt{\frac{{m{g^2}}}{k}}$
答：（1）物体A刚开始运动时的加速度大小是0.5g；
（2）PQ的距离是$\frac{mg}{k}$；
（3）若仅把物块B的质量改为2m，挂上物块B后，物体A沿斜面上升到Q点位置时的速度v是$\sqrt{\frac{m{g}^{2}}{k}}$．

点评 本题考查牛顿第二定律的应用及机械能守恒定律；要分析清楚物体的运动过程，应用牛顿第二定律与机械能守恒定律可以正确解题．