Question

16．2016年9月15日22时04分12秒，“天宫二号”空间实验室在酒泉卫星发射中心发射成功．经北京航天飞行控制中心两次轨道控制后，进入距地面为393km的轨道上绕地球做匀速圆周运动，运行周期为90min钟．若还知道地球的半径和万有引力常量，仅利用以上条件能求出的是（　　）

• A． 地球的平均密度
• B． 地球自转的周期
• C． 天宫二号的质量
• D． 地球的第一宇宙速度

Answer 1

分析 “天宫二号”绕地球的运动可看做匀速圆周运动，万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}（R+h）$，根据密度公式求出密度；根据地球表面的物体受到的重力等于万有引力$mg=\frac{GMm}{R^2}$，根据以上二式可以计算出地球的质量M和地球表面重力加速度g．

解答 解：A、据题意，令“天宫二号”卫星的运行周期为T、离地面高度为h、地球半径为R、万有引力常量为G，设地球的质量为M．“天宫二号”绕地球的运动可看做匀速圆周运动，万有引力提供向心力：$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}（R+h）$，
得：$M=\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{{G{T^2}}}$
地球的密度：$ρ=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$
G、T、R、h都已知，所以能求出地球的密度．故A正确；
B、地球的自转周期与万有引力之间没有关系，与天宫二号的速度也无关，所以根据以上的条件不能求出地球的自转周期．故B错误；
C、在万有引力提供向心力的表达式中，等式的两边都有天宫二号的质量，所以不能求出天宫二号的质量．故C错误；
D、根据地球表面的物体受到的重力等于万有引力：$mg=\frac{GMm}{R^2}$，
得$g=\frac{GM}{R^2}=\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{{{R^2}{T^2}}}$，
则第一宇宙速度：v=$\sqrt{gR}$．故D正确；
故选：AD

点评 本题要掌握万有引力提供向心力和重力等于万有引力这两个重要的关系，要知道环绕天体的质量无法计算，只能计算中心天体的质量．