Question

【题目】如图所示，光滑、足够长、不计电阻、轨道间距为l的平行金属导轨MN、PQ，水平放在竖直向下的磁感应强度不同的两个相邻的匀强磁场中，左半部分为Ι匀强磁场区，磁感应强度为B1；右半部分为Ⅱ匀强磁场区，磁感应强度为B2，且B1=2B2。在Ι匀强磁场区的左边界垂直于导轨放置一质量为m、电阻为R1的金属棒a，在Ι匀强磁场区的某一位置，垂直于导轨放置另一质量也为m、电阻为R2的金属棒b。开始时b静止，给a一个向右冲量I后a、b开始运动。设运动过程中，两金属棒总是与导轨垂直。

（1）求金属棒a受到冲量后的瞬间通过金属导轨的感应电流；

（2）设金属棒b在运动到Ι匀强磁场区的右边界前已经达到最大速度，求金属棒b在Ι匀强磁场区中的最大速度值；

（3）金属棒b进入Ⅱ匀强磁场区后，金属棒b再次达到匀速运动状态，设这时金属棒a仍然在Ι匀强磁场区中。求金属棒b进入Ⅱ匀强磁场区后的运动过程中金属棒a、b中产生的总焦耳热。

Answer 1

【答案】（1）i=；（2）vm=；（3）Q=

【解析】

（1）导体棒瞬间得到一个初速度，回路中产生感应电流，由闭合电路欧姆定律求解电流大小
（2）选ab两棒组成的系统为研究对象，可得水平方向动量守恒，可解b棒的最大速度值
（3）金属棒b进入Ⅱ匀强磁场区后，穿过回路的磁通量减小，回路中产生感应电流，两棒均受安培力作用，使a减速，b加速，最终两棒产生的感应电动势相等时，两棒改作匀速直线运动，此过程中产生的焦耳热等于两棒动能的减少量

（1）设金属棒a受到冲量I时的速度为v0，金属棒a产生的感应电动势为E，金属轨道中的电流为i，则
由动量定理得：I=mv0
由法拉第电磁感应定律得：E=B1lv0
i=
即：
（2）金属棒a和金属棒b在左部分磁场中运动过程中所受安培力大小相等、方向相反，合力为零，故a、b组成的系统，水平方向动量守恒．
金属棒a和金属棒b在Ι匀强磁场区中运动过程中达到的最大速度vm时，二金属棒速度相等，感应电流为零，二金属棒匀速运动，根据动量守恒定律有
mv0=2mvm
vm=
（3）金属棒b进入Ⅱ匀强磁场时，设金属棒a的感应电动势为E1，金属棒b的感应电动势为E2，
E1=B1lvm
E2=B2lvm
因为B1=2B2
所以E1=2E2
所以，金属棒b一进入Ⅱ匀强磁场，电流立即出现，在安培力作用下金属棒a做减速运动，金属棒b做加速运动．设金属棒a在Ι匀强磁场区运动速度从vm变化到最小速度va，所用时间为t，金属棒b在Ⅱ匀强磁场区运动速度从vm变化到最大速度为vb，所用时间也为t，此后金属棒a、b都匀速运动，则
B1lva=B2lvb
即vb=2va
设在t时间内通过金属棒a、b的电流平均值为，根据动量定理有：
B1lt=mva-mvm方向向左
B2lt=mvb-mvm方向向右
解得：va＝vm vb＝vm
设金属棒b进入Ⅱ匀强磁场后，金属棒a、b产生的总焦耳热为Q，根据能量守恒，有：

整理得：Q=