Question

一质量为m的质点，系于长为L的轻绳的一端，绳的另一端固定在空间的O点，假定绳是不可伸长、柔软目无弹性的．今把质点从O点的正上方离O点的距离为

8

9

L的O₁点以水平速度V₀抛出，质点运动到与O点同一水平线时，轻绳刚好伸直，如图所示．试求；
（1）轻绳刚好伸直时，质点的速度：
（2）当质点到达O点的正下方时，绳对质点的拉力．

Answer 1

分析：质点的运动可分为三个过程：第一过程：质点做平抛运动．设轻绳刚好伸直时，质点的速度为v，该过程中重力做功；第二过程：绳绷直过程．绳绷直时，绳刚好水平，如图所示，由于绳不可伸长，故绳绷直时，v₀损失，质点仅有速度v_y．第三过程：小球在竖直平面内做圆周运动．针对各个过程，列出相应的公式即可求解．

解答：解：（1）质点的运动可分为三个过程：
第一过程：质点做平抛运动．设轻绳刚好伸直时，质点的速度为v，由动能定理得：
mg?

8

9

L=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

                   
解得：v=

v 2 2 + 16 9 gL

                               
（2）第二过程：绳绷直过程．绳绷直时，绳刚好水平，如图所示，由于绳不可伸长，故绳绷直时，v₀损失，质点仅有速度v_y．
vy=

2h g

=

2× 8 9 L g

=

4

3

gL

    
第三过程：小球在竖直平面内做圆周运动．设质点到达O点正下方时，速度为v₁，根据机械能守恒守律有：

1

2

m

v

2 y

+mgL=

1

2

m

v

2 1

        
设此时绳对质点的拉力为T，则：T-mg=m

v 2 1

L

联立以上方程，代入数据解得：T=

43

9

mg
答：（1）轻绳刚好伸直时，质点的速度为v=

v 2 2 + 16 9 gL

；
（2）当质点到达O点的正下方时，绳对质点的拉力为T=

43

9

mg．

点评：本题关键是将小球的运动分为三个过程进行分析讨论，平抛运动过程、突然绷紧的瞬时过程和变速圆周运动过程；然后根据对各段运用平抛运动位移公式、速度分解法则、机械能守恒定律和向心力公式列式求解．