Question

9．如图所示，木板B连同右端挡板的质量M=1.0kg，静止放置在水平地面上，质量m=3.0kg的小滑块A以v₀=3.0m/s的初速度向右滑上木板，初始位置与木板右端挡板的距离d=1.00m，已知滑块与木板间的动摩擦因数μ₁=0.2，木板与地面间的动摩擦因数为μ₂=0.1，滑块在木板上滑行过程，木板恰好保持静止，一段时间后滑块A与挡板发生正碰，碰撞时没有机械能损失且时间极短，从碰撞后瞬间开始，对木板B施加一个大小F=7.5N、方向水平向右的推力，当滑块A和木板B的速度达到相等时立刻将推力撤去，取重力加速度g=10m/s²，最大静摩擦力可视为等于滑动摩擦力，求：

（1）滑块与挡板碰撞后瞬间A和B的速度大小；
（2）A和B最后停下时，滑块A与挡板间的距离和木板B在地面上的总位移．

Answer 1

分析 （1）先根据牛顿第二定律求出滑块与挡板碰撞前的加速度大小，根据位移时间关系求解相碰时的时间，在根据速度时间关系求解碰撞前的速度，根据由动量守恒定律和能量守恒定律结合求碰撞后瞬间A和B的速度大小；
（2）根据牛顿第二定律求出碰后A和B的加速度，由速度时间公式求出速度达到相等所经历的时间，从而求出此过程A和B的位移．滑块A和木板B的速度达到相等后，根据位移速度关系求出整体滑行的距离，从而求得B的总位移．

解答 解：（1）A与B之间的摩擦力为：f₁=μ₁mg=0.2×30N=6N，
B与地面间的最大静摩擦力为：f₂=μ₂（m+M）g=0.1×40N=4N，
在滑动过程中小滑块的加速度大小为：a₁=$\frac{{f}_{1}}{m}=\frac{6}{3}m/{s}^{2}=2m/{s}^{2}$，方向向后；
B相对于地面滑动时的加速度大小为：a₂=$\frac{{f}_{1}-{f}_{2}}{M}=\frac{6-4}{1}m/{s}^{2}=2m/{s}^{2}$，方向向前；
经过时间t时相碰，则根据位移时间关系有：d=v₀t-$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$-$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$，
即2t²-3t+1=0；
解得：t=0.5s（或t=1s舍去，当t=1s时B的速度大于A的速度，不可能）；
此过程中挡板的位移为：x₁=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×2×0．{5}^{2}m=0.25m$；
滑块与挡板碰撞前瞬间A的速度 v₁=v₀-a₁t=（3-2×0.5）m/s=2m/s，
B的速度为：v₂=a₂t=2×0.5m/s=1m/s；
滑块与挡板碰撞过程，取向右为正方向，由动量守恒定律和能量守恒定律得：
  mv₁+Mv₂=mv_A+Mv_B．
 $\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}$mv_A²+$\frac{1}{2}$Mv_B²．
联立解得：v_A=1.5m/s，v_B=2.5m/s
（2）碰后，A、B的加速度大小分别为：
对A加速度大小为：a_A=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}$=μ₁g=2m/s²，方向向前，
对B：a′_B=$\frac{F-{f}_{1}-{f}_{2}}{M}$=$\frac{7.5-6-4}{1}m/{s}^{2}$=-2.5m/s²；
所以B的加速度大小为a_B=2.5m/s²；
设经过t₁时间二者速度相等，则：v_A+a_At₁=v_B-a_Bt₁，
解得：${t}_{1}=\frac{2}{9}s$；
共同速度大小为：v_共=v_A+a_At₁=（1.5+2×$\frac{2}{9}$）m/s=$\frac{35}{18}$m/s；
此过程挡板的位移为：x₂=$\frac{{v}_{B}+{v}_{共}}{2}×{t}_{1}$=$\frac{2.5+\frac{35}{18}}{2}×\frac{2}{9}m$=0.49m；
此过程滑块的位移为：x_A=$\frac{{v}_{A}+{v}_{共}}{2}{t}_{1}$=$\frac{1.5+\frac{35}{18}}{2}×\frac{2}{9}m$=0.38m；
以后二者以相同的加速度减速运动到静止，减速运动的加速度大小为：a_共=μ₂g=1m/s²，
减速运动的位移为：x₃=$\frac{{v}_{共}^{2}}{2{a}_{共}}=\frac{（\frac{35}{18}）^{2}}{2×1}m≈1.89m$；
所以滑块A与挡板间的距离为：△x=x₂-x_A=0.49m-0.38m=0.11m，
木板B在地面上的总位移为：x=x1+x2+x3=0.25m+0.49m+1.89m=2.63m．
答：（1）滑块与挡板碰撞后瞬间A的速度大小为1.5m/s，B的速度大小为2.5m/s；
（2）A和B最后停下时，滑块A与挡板间的距离为0.11m，木板B在地面上的总位移为2.63m．

点评 对于牛顿第二定律的综合应用问题，关键是弄清楚物体的运动过程和受力情况，利用牛顿第二定律或运动学的计算公式求解加速度，再根据题目要求进行解答；知道加速度是联系静力学和运动学的桥梁．