Question

【题目】万有引力和库仑力有类似的规律，有很多可以类比的地方。已知引力常量为G，静电力常量为k。

（1）用定义静电场强度的方法来定义与质量为M的质点相距r处的引力场强度EG的表达式；

（2）质量为m、电荷量为e的电子在库仑力的作用下以速度v绕原子核做匀速圆周运动，该模型与太阳系内行星绕太阳运转相似，被称为“行星模型”，如图（1）。已知在一段时间内，电子走过的弧长为s，其速度方向改变的角度为θ（弧度）。不考虑电子之间的相互作用，求出原子核的电荷量Q；

（3）如图（2），用一根长为L的绝缘细线悬挂一个可看成质点的金属小球，质量为m，电荷量为-q。悬点下方固定一个足够大的水平放置的均匀带正电的介质平板。小球在竖直平面内做小角度振动。已知重力加速度为g，不计空气阻力。

a．已知忽略边缘效应的情况下，带电平板所产生的静电场的电场线都垂直于平板，静电场的电场力做功与路径无关。请证明：带电平板所产生的静电场是匀强电场；

b．在上述带电平板附近所产生的静电场场强大小为E，求：金属小球的振动周期。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）a.见解析；b.

【解析】

（1）EG的表达式为

（2）根据

联立得

（3）a．反证法

法1：如图，若存在电场线平行但不等间距的静电场，则可以引入试探电荷+q，让+q从a点沿矩形路线abcda（ab与电场线平行，bc边与电场线垂直）运动一周回到a点。设ab处的场强大小为E1，cd处的场强大小为E2，根据功的定义，电场力做的总功

其中

bc段和da段电场力始终与运动方向垂直

故

得

但根据电场力做功的特点，做功与路径无关，故

上述假设矛盾，故不存在电场线平行但不等间距的静电场

法2：如图，若存在电场线平行但不等间距的静电场，则可以引入试探电荷+q，让+q从a点分别沿矩形abcd（ab与电场线平行，bc边与电场线垂直）的abc和adc运动到c点。设ab处的场强大小为E1，cd处的场强大小为E2，根据功的定义，路径ac和adc电场力做的功分别为

其中

bc段和da段电场力始终与运动方向垂直

故

，

得

故

但根据电场力做功的特点，做功与路径无关，故

上述假设矛盾，故不存在电场线平行但不等间距的静电场

b．电场力

等效重力加速度

小球在库仑力作用下的振动周期