Question

19．游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来（如图1）．我们把这种情况抽象为图2的模型：弧形轨道的下端与竖直圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端无初速滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动，其中M、N分别为圆轨道的最低点和最高点．实验发现，只要h大于一定值，小球就可以顺利通过圆轨道的最高点．如果已知圆轨道的半径为R=5.0m小球质量为m=1.0kg（一切阻力均忽略不计，取重力加速度g=10m/s²），问：
（1）h至少为多大才可使小球沿圆轨道运动而不掉下来？
（2）取第一问中的求得的h值，小球通过M点时轨道对小球的支持力为多大？

Answer 1

分析 （1）小球恰能通过最高点，那么小球在最高点时应该是恰好是物体的重力作为物体的向心力，由向心力的公式可以求得此时的最小的速度，再由机械能守恒可以求得离地面的高度h．
（2）根据机械能守恒求得小球在M点的速度，根据牛顿第二定律可求得轨道对小球的支持力

解答 解：（1）当小球恰好通过最高点时，在最高点的速度为v：$mg=m\frac{v^2}{R}$，
小球运动到最高点的过程中，只有重力做功，由机械能守恒定律：$mg（h-2R）=\frac{1}{2}mv_{\;}^2$，
解得：h=2.5R=12.5m
（2）在M点，设M点速度为v₁：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}_{1}{{\;}^{2}}^{\;}}{R}$，
由机械能守恒定律：$mg•2R=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}m{v^2}$，
解得F_N=6mg=60N
答：（1）h至少为12.5m才可使小球沿圆轨道运动而不掉下来；
（2）取第一问中的求得的h值，小球通过M点时轨道对小球的支持力为60N．

点评 本题属于圆周运动中绳的模型，在最高点时应该是重力恰好作为圆周运动的向心力，对于圆周运动中的两种模型一定要牢牢的掌握．