Question

如图所示，水平面上有一个动力小车，在动力小车上竖直固定着一个长度L₁、宽度L₂的矩形线圈，线圈匝线为n，总电阻为R，小车和线圈的总质量为m，小车运动过程所受摩擦力为f．小车最初静止，线圈的右边刚好与宽为d（d＞L₁）的有界磁场的左边界重合．磁场方向与线圈平面垂直，磁感应强度为B．现控制动力小车牵引力的功率，让它以恒定加速度a进入磁场，线圈全部进入磁场后，开始做匀速直线运动，直至完全离开磁场，整个过程中，牵引力的总功为W．
（1）求线圈进入磁场过程中，感应电流的最大值和通过导线横截面的电量．
（2）求线圈进入磁场过程中，线圈中产生的焦耳热．
（3）写出整个过程中，牵引力的功率随时间变化的关系式．

Answer 1

分析：（1）由题，线框先做匀加速运动后匀速运动，当线框刚进入磁场时，速度最大，感应电流也最大，根据运动学公式求出此时的速度，由E=BLv和欧姆定律求解最大感应电流．由法拉第电磁感应定律、欧姆定律等推导出通过导线横截面的电量．
（2）根据功能关系得知，整个过程中，牵引力的总功W等于回路中产生的焦耳热、摩擦生热和线框的动能，由焦耳定律求出线框穿出磁场时焦耳热，即可求出线圈进入磁场过程中产生的焦耳热．
（3）根据牛顿第二定律分三段求解牵引力的功率随时间变化的关系式：线框进入磁场、完全在磁场中、穿出磁场．

解答：解：（1）全部进入磁场时速度：v=

2aL1

最大电动势：E_m=nBL₂v
最大电流为：Im=

Em

R

=

nBL2 2aL1

R

q=

.

I

△t=

. ε

R

?△t=n

△?

△t

?

△t

R

=n

△?

R

=

nBL1L2

R

（2）设进入和离开磁场过程中，线圈产生的焦耳热分别为Q_入和Q_出，则在整个过程中，
牵引力的总功：W=Q入+Q出+f(L1+d)+

1

2

mv2
 Q出=

I

2 m

Rt出，
 t出=

L1

v

；
将I_m及v代入
得：Q出=

n2B2 L 2 2 L1 2aL1

R

解得：Q入=W-f(L1+d)-maL1-

n2B2 L 2 2 L1 2aL1

R

（3）①小车进入磁场阶段做匀加速运动：
  0＜t＜

2L1 a

，v_t=at，I=

nBL2vt

R

由

P

vt

-f-nBIL2=ma得：P=

n2B2L22a2

R

t2+(f+ma)at，（0＜t＜

2L1 a

）
②小车完全在磁场中运动：P=f

2aL1

，（

2L1 a

＜t＜(

2L1 a

+

d-L1

2aL1

)）
③小车匀速穿出磁场的过程：P=（F_安+f）v
得P=

2an2B2L1L22

R

+f

2aL1

（(

2L1 a

+

d-L1

2aL1

)＜t＜(

2L1 a

+

d

2aL1

)）
答：
（1）线圈进入磁场过程中，感应电流的最大值是

nBL2 2aL1

R

，通过导线横截面的电量

nBL1L2

R

．
（2）线圈进入磁场过程中，线圈中产生的焦耳热是W-f（L1+d）-maL₁-

n2B2 L 2 2 L1 2aL1

R

．
（3）在整个过程中，牵引力的功率随时间变化的关系式是）①小车进入磁场阶段做匀加速运动：
P=

n2B2L22a2

R

t2+(f+ma)at，（0＜t＜

2L1 a

）
②小车完全在磁场中运动：P=f

2aL1

，（

2L1 a

＜t＜(

2L1 a

+

d-L1

2aL1

)）
③小车匀速穿出磁场的过程：P=

2an2B2L1L22

R

+f

2aL1

（(

2L1 a

+

d-L1

2aL1

)＜t＜(

2L1 a

+

d

2aL1

)）．

点评：本题是电磁感应与力学知识的综合，安培力是关键量．运用功能关系，要分析回路中涉及几种形式的能，能量如何转化．