Question

如图所示，质量为m的矩形线框MNPQ，MN边长为a，NP边长为b；MN边电阻为R₁，PQ边电阻为R₂，线框其余部分电阻不计．现将线框放在光滑绝缘的水平桌面上，PQ边与y轴重合．空间存在一个方向垂直桌面向下的磁场，该磁场的磁感应强度沿y轴方向均匀，沿x轴方向按规律B_x=B₀（1-kx）变化，式中B₀和k为已知常数且大于零．矩形线框以初速度v₀从图示位置向x轴正方向平动．求：
（1）在图示位置时线框中的感应电动势以及感应电流的大小和方向；
（2）线框所受安培力的方向和安培力的表达式；
（3）线框的最大运动距离x_m；
（4）若R₁=2R₂，线框运动到

xm

2

过程中，电阻R₁产生的焦耳热．

Answer 1

（1）E=

△Φ

△t

=ab

△B

△t

=ab

△B

△x

△x

△T

=kabv₀B₀
I=

E

R1+R2

=

kabv0B0

R1+R2

感应电流方向沿：NPQMN
（2）线框受的安培力水平向左，安培力为：
F=aI△B=

k2a2 b2B 20

R1+R2

v
（3）根据牛顿第二定律知：
F=F₁-F₂=m

△v

△t

=-

(kabB0)2△x

(R1+R2)△t

其中m△v=-

(kabB0)2△x

R1+R2

mv₀=

(kabB0)2xm

R1+R2

联立解得x_m=

mv0(R1+R2)

(kabB0)2

（4）由m△v=-

(kabB0)2△x

R1+R2

得：
m（v-v₀）=-

(kabB0)2xm

2(R1+R2)

=-

1

2

mv0，v=

v0

2

Q=△E_K=

1

2

mv

20

-

1

2

m(

v

2

)2=

3

8

mv

20

电阻R₁产生的热为
QR1=

R1

R1+R2

Q=

1

4

mv

20

答：（1）在图示位置时线框中的感应电动势为kabv₀B₀
感应电流的大小为

kabv0B0

R1+R2

，方向沿NPQMN；
（2）线框所受安培力的方向水平向左，安培力的表达式为

k2a2 b2B 20

R1+R2

v；
（3）线框的最大运动距离

mv0(R1+R2)

(kabB0)2

；
（4）线框运动到

xm

2

过程中，电阻R₁产生的焦耳热

1

4

mv

20

．