Question

20．2012年初，我国宣布北斗导航系统正式商业运行．北斗导航系统又称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能．“北斗”系统中两颗工作星均绕地心O做轨道半径为r的匀速圆周运动，某时刻两颗工作星分别位于轨道上的A、B两位置（如图所示）．若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，不计两星间的相互作用力．以下判断正确的是（　　）

• A． 卫星1向后喷气一定能追上卫星2
• B． 卫星1由位置A运动到位置B的过程中万有引力做正功
• C． 卫星1由位置A运动至位置B所需的时间为$\frac{2rπ}{3gR}\sqrt{gr}$
• D． 这两颗卫星的加速度大小相等，均为$\frac{{g{R^2}}}{r^2}$

Answer 1

分析 由$\frac{GMm}{{r}_{\;}^{2}}$=$\frac{{mv}_{\;}^{2}}{r}$=$mr（\frac{2π}{{T}_{\;}^{\;}}）_{\;}^{2}$，可得出r相同则速度v大小相等，v变大则r变大（做离心运动），再结合$\frac{GMm}{{R}_{\;}^{2}}$=mg即GM=g${R}_{\;}^{2}$（黄金代换），即可求解．

解答 解：A、若卫星1向后喷气，则其速度会增大，卫星1将做离心运动，所以卫星1不可能追上卫星2．故A错误；
B、卫星1由位置A运动到位置B的过程中，由于万有引力始终与速度垂直，故万有引力不做功，故B错误．
C、根据$\frac{GMm}{{r}_{\;}^{2}}$=mr$（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}$得，T=$\sqrt{\frac{{{4π}_{\;}^{2}r}_{\;}^{3}}{GM}}$①，又GM=g${R}_{\;}^{2}$②，t=$\frac{1}{6}T$③，联立①②③可解得t=$\frac{πr}{3R}\sqrt{\frac{r}{g}}$．故C错误；
D、根据${F}_{合}^{\;}$=ma得，对卫星有$\frac{GMm}{{r}_{\;}^{2}}$=ma，可得a=$\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$，取地面一物体由$\frac{GMm}{{R}_{\;}^{2}}$=mg，联立解得a=$\frac{{R}_{\;}^{2}g}{{r}_{\;}^{2}}$，故D正确．
故选：D．

点评 关于做圆周运动的卫星类问题，要灵活运用两个公式$\frac{GMm}{{r}_{\;}^{2}}$=$\frac{{mv}_{\;}^{2}}{r}$=mr$（\frac{2π}{{T}_{\;}^{\;}}）_{\;}^{2}$，$\frac{GMm}{{R}_{\;}^{2}}$=mg，注意卫星若加速则做离心运动，减速则做向心运动．