Question

14．我国自1970年4月24日发射第一颗人造地球卫星----“东方红”1号以来，为了满足通讯、导航、气象预报和其它领域科学研究的不同需要，又发射了许多距离地面不同高度的人造地球卫星．卫星A为近地卫星，卫星B为地球同步卫星，它们都绕地球做匀速圆周运动．已知地球半径为R，卫星A距地面高度可忽略不计，卫星B距地面高度为h，不计卫星间的相互作用力．求：
（1）卫星A与卫星B运行速度大小之比；
（2）卫星A与卫星B运行周期之比；
（3）卫星A与卫星B运行的加速度大小之比．

Answer 1

分析 （1）卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解线速度表达式进行分析；
（2）卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解周期的一般表达式进行分析即可；
（3）卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解向心加速度的表达式进行分析即可．

解答 解：（1）卫星绕地球做匀速圆周运动，设地球质量为M，卫星质量为m，轨道半径为r，运行速度大小为v，由万有引力定律和牛顿运动定律，有：
$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$…①
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$
卫星A与卫星B运行速度大小之比为：$\frac{v_A}{v_B}=\sqrt{\frac{R+h}{R}}$
（2）由万有引力定律和牛顿运动定律，有：
$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}r$…②
可知卫星运行周期：$T=\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$
卫星A与卫星B运行周期之比：$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}=\sqrt{\frac{{R}^{3}}{（R+h）^{3}}}$
（3）由万有引力定律和牛顿运动定律，卫星运行的加速度大小为：
$a=\frac{{F}_{合}}{m}=\frac{GM}{{r}^{2}}$…③
卫星A与卫星B运行的加速度大小之比为：
$\frac{{a}_{A}}{{a}_{B}}=\frac{（R+h）^{2}}{{R}^{2}}$
答：（1）卫星A与卫星B运行速度大小之比为$\sqrt{\frac{R+h}{R}}$；
（2）卫星A与卫星B运行周期之比为$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{{（R+h）}^{3}}}$；
（3）卫星A与卫星B运行的加速度大小之比为$\frac{{（R+h）}^{2}}{{R}^{2}}$．

点评 本题关键是明确人造卫星的动力学原理，找到向心力来源，根据万有引力定律和牛顿第二定律列式求解即可．