Question

15．如图甲所示，斜面AB与水平面BM通过一小段长度可忽略的光滑圆弧面平滑连接．质量为m=1kg的小物块以一定的初速度从B点开始沿斜面上滑，滑到最高点后沿斜面下滑，经B点后滑上水平面BM．若小物块从B点开始运动后其动能E_K随其路程x变化的部分图象如图乙所示．物质与斜面和水平面之间的动摩擦因数相同，取g=10m/^s2．求：

（1）小物块从开始运动到返回B点所需要的时间（可保留根式）．
（2）小物块在水平面上滑行的距离．
（3）若改变小物块从B点上滑时的初动能E_K0，则其最终在水平面上滑行的距离x′也会相应地发生变化，求x′随初动能E_K0变化的函数关系式，并计算出x′=2.5m对应的初动能．

Answer 1

分析 （1）由动能定理分别列出两段过程中的动能定理表达式，由图象得出初动能，联立可求得运动中的物理量；再由牛顿第二定律求得加速度；由运动学公式即可求得时间；
（2）由牛顿第二定律可求得水平面上的加速度，再由运动学公式可求得滑行距离；
（3）分别表示两段过程中的摩擦力做功与动能的关系，再由动能定理求得表达式，即可得出结果．

解答 解：（1）设物体在斜面上上滑的最高点为C，由图乙可知x_BC=5m，从C点返回时到D点，
从B到C由动能定理可得：0-50=-mgx_BCsinθ-μmgx_BCcosθ…①
从C到D由动能定理可得：2-0=mgx_CDsinθ-μmgx_CDcosθ…②
代入已知量解得：μ=0.5，θ=37°…③
有：${E}_{k}=\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$=50J
代入数据得：v₀=10m/s…④
由B上升到C加速度为：a₁=-gsinθ-μgcosθ=-10m/s²
上滑时间为：${t}_{1}=\frac{-10}{-10}s=1s$…⑤
由C返回B 加速度：a₂=gsinθ-μgcosθ=2m/s²…⑥
下滑时间为：t₂=$\sqrt{\frac{2{x}_{CB}}{{a}_{2}}}$=$\sqrt{2\frac{2×5}{\;}}$=5s…⑦
速度为：v_B=a₂t₂=2×$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$m/s；…⑧
小物块从开始运动到返回B点所用时间为：$t={t}_{1}+{t}_{2}=1+\sqrt{5}s=3.24s$…⑨
（2）在水平面上滑行的加速度为：a=-μg=-0.5×10=-5m/s²…⑩
则滑行距离为：$x=\frac{{-v}_{B}^{2}}{2a}=2m$
（3）设在斜面上从B点出发到返回B点的过程中摩擦力做功：
W_f1=2fx′=2μmgcosθ$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}$
而E_k0=$\frac{1}{2}$mv₀²
从B到M滑行距离x'，摩擦力做功为：W_f2=μmgx′
全过程由动能定理：0-E_k0=-W_f1-W_f2
代入上两问中的已知量，解得：$x′=\frac{1}{25}{E}_{k0}$
当x'=2.5m时，代入数据得：E_k0=62.5J；
答：（1）小物块从开始运动到返回B点所需的时间为3.24s；
（2）滑行距离为2m；
（3）x′=2.5m对应的初动能为62.5J．

点评 本题缩合考查动能定理、牛顿第二定律及运动学公式，题目的过程较为复杂，要注意准确理解题意，分析过程并做好每一段的受力分析；然后才能选择合适的物理规律求解．