Question

质量为m的机车头拖着质量均为m的n节车厢在平直轨道上以速度v匀速行驶，设机车头和各节车厢受到的阻力均为f，行驶中后面有一节车厢脱落，待脱落车厢停止运动时后面又有一节车厢脱落，各节车厢按此方式依次脱落，整个过程中机车头的牵引力保持不变，问：
（1）最后面一节车厢脱落后，机车头和剩下的车厢的加速度是多大？
（2）最后面一节车厢脱落后，当它停止运动时，机车头和剩下的车厢的速度是多大？
（3）全部车厢脱落并停止运动时，机车头的速度是多大？

Answer 1

分析：（1）最后面一节车厢脱落后，根据牛顿第二定律求解机车头和剩下的车厢的加速度．
（2）根据速度公式求出最后面一节车厢从脱落到停止运动的时间，再求解机车头和剩下的车厢的速度．
（3）采用同样的方法求出第二节车厢脱离、第三节车厢脱离…等等停止运动时，机车头和剩下的车厢的速度，总结规律，得出全部车厢脱落并停止运动时，机车头的速度．

解答：解：（1）最后面一节车厢脱落后，根据牛顿第二定律得
  机车头和剩下的车厢的加速度a₁=

F-nf

nm

又由匀速运动时，F=（n+1）f，得
  a₁=

f

nm

（2）最后面一节车厢脱落后，加速度大小为a′=

f

m

最后面一节车厢从脱落到停止运动的时间为t₁=

v

a′

=

mv

f

，
则当它停止运动时，机车头和剩下的车厢的速度v₁=v+a₁t₁=v+

f

nm

?

mv

f

=

1+n

n

v
（3）第二节车厢脱离：
v₂=v₁+a₂t₂=v1+

2f

(n-1)m

?

mv1

f

=

(1+n)v1

n-1

=

(1+n)2v

n(n-1)

第三节车厢脱离：
v₃=v₂+a₃t₃=v2+

3f

(n-2)m

?

mv2

f

=

(1+n)v2

n-2

=

(1+n)3v

n(n-1)(n-2)

…
同理可得：v_n=

(1+n)n

n(n-1)(n-2)…2?1

=

(1+n)nv

n!

答：
（1）最后面一节车厢脱落后，机车头和剩下的车厢的加速度是

f

nm

．
（2）最后面一节车厢脱落后，当它停止运动时，机车头和剩下的车厢的速度是

1+n

n

v．
（3）全部车厢脱落并停止运动时，机车头的速度是

(1+n)nv

n!

．

点评：本题物理原理比较简单，关键在于运用数学归纳法寻找规律，考查运用数学知识处理物理问题的能力．