Question

10．某兴趣小组参照伽利略时期演示平抛运动的方法制作了如图所示的实验装置．图中水平放置的底板上竖直地固定有M板和N板．M板上部有一半径为R的$\frac{1}{4}$弧形的粗糙轨道，P为最高点，Q为最低点，Q点处的切线水平，距底板高为H． N板上固定有三个圆环．将质量为m的小球从P处静止释放．小球运动至Q飞出后无阻碍地通过各圆环中心，落到底板上距Q水平距离为L处．不考虑空气阻力，重力加速度为g．求：
（1）小球从P处静止释放至落到底板上的过程中小球所受重力做的功；
（2）小球运动到Q点时的速度大小；
（3）距Q水平距离为$\frac{L}{2}$的圆环中心到底板的高度．

Answer 1

分析 （1）根据重力做功表达式W=mgh，即可求解；
（2）根据平抛运动的特点，即可求出小球运动到Q点时速度的大小；
（3）根据平抛运动的特点，将运动分解即可求出．

解答 解：（1）根据重力做功表达式W_G=mgh=mg（H+R），
（2）小球从Q抛出后运动的时间：t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$①
水平位移：L=v_Q•t  ②
由①②得小球到达Q点的速度：v_Q=$\frac{L}{t}$=L$\sqrt{\frac{g}{2H}}$
（3）小球运动到距Q水平距离为$\frac{L}{2}$ 的位置时的时间：t′=$\frac{\frac{L}{2}}{{v}_{Q}}$=$\frac{t}{2}$  ③
此过程中小球下降的高度：h=$\frac{1}{2}$gt′²   ④
联立以上公式可得：h=$\frac{1}{4}$H
圆环中心到底板的高度为：H-$\frac{1}{4}$H=$\frac{3}{4}$H；
答：（1）小球从P处静止释放至落到底板上的过程中小球所受重力做的功mg（H+R）；
（2）小球运动到Q点时的速度大小L$\sqrt{\frac{g}{2H}}$；
（3）距Q水平距离为$\frac{L}{2}$的圆环中心到底板的高度$\frac{3}{4}$H．

点评 该题是平抛运动、功能关系以及圆周运动的综合题，该题中要熟练掌握机械能守恒定律，能量守恒定律，以及圆周运动的临界问题．