Question

7．在光滑的绝缘水平面上方，有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，PQ为磁场边界．一个半径为a、质量为m、电阻为R的金属圆环垂直磁场方向放置于磁场中A处．现给金属圆环一水平向右的初速度v，当圆环运动到直径刚好与边界线PQ重合时的速度为$\frac{v}{2}$，则下列说法正确的是（　　）

• A． 此时圆环中的电功率为$\frac{4{B}^{2}{a}^{2}{v}^{2}}{R}$
• B． 此时圆环的加速度为$\frac{{B}^{2}{a}^{2}v}{mR}$
• C． 此过程回路中产生的电能为0.75mv²
• D． 此过程中通过圆环截面的电荷量为$\frac{πB{a}^{2}}{2R}$

Answer 1

分析 当圆环运动到PQ时，左半圆切割磁感线产生电动势，等效切割长度等于直径2a，可由公式E=BLv和电功率公式结合，求解电功率；由公式F=BIL和I=$\frac{E}{R}$求出安培力，根据牛顿第二定律求解加速度．由感应电荷量表达式q=$\frac{△Φ}{R}$ 求解电荷量．由能量守恒求解产生的电能．

解答 解：A、当圆环运动到PQ时，左半圆切割磁感线产生电动势，切割的有效长度为2a，
所以产生的感应电动势为：E=B•2a•$\frac{v}{2}$=Bav…①
此时圆环中的电功率：P=$\frac{{E}^{2}}{R}$=$\frac{{B}^{2}{a}^{2}{v}^{2}}{R}$…②，故A错误．
B、圆环中感应电流为：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{Bav}{R}$
左半圆环受到得安培力相当于直径所受安培力，大小为：F=BI•2a=$\frac{2{B}^{2}{a}^{2}v}{R}$…③
根据牛顿第二定律得：F=ma…④
由③④解得：a=$\frac{2{B}^{2}{a}^{2}v}{mR}$．故B错误．
C、由能量守恒得：此过程回路中产生的电能为 Q=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$m（$\frac{v}{2}$）²=0.375mv²．故C错误．
D、此过程中通过圆环截面的电荷量为：q=$\frac{△Φ}{R}$=$\frac{πB{a}^{2}}{2R}$．故D正确．
故选：D．

点评 解决本题的关键掌握瞬时感应电动势和平均感应电动势的求法，知道公式E=BLv中L是有效切割长度，安培力公式F=BIL中，L也是有效长度，不是半圆的弧长．