Question

（25分）如图所示，一薄壁导体球壳（以下简称为球壳）的球心在点．球壳通过一细导线与端电压的电池的正极相连，电池负极接地．在球壳外点有一电量为的点电荷，点有一电量为的点电荷。之间的距离，之间的距离．现设想球壳的半径从开始缓慢地增大到50，问：在此过程中的不同阶段，大地流向球壳的电量各是多少？己知静电力恒量．假设点电荷能穿过球壳壁进入导体球壳内而不与导体壁接触。

Answer 1

解析：

分以下几个阶段讨论：
　  1．由于球壳外空间点电荷、的存在，球壳外壁的电荷分布不均匀，用表示面电荷密度．设球壳半径时球壳外壁带的电量为，因为电荷、与球壳外壁的电量在球壳内产生的合场强为零，球壳内为电势等于的等势区，在导体表面上的面元所带的电量为，它在球壳的球心处产生的电势为，球壳外壁所有电荷在球心产生的电势为

                          （1）

点电荷、在球壳的球心处产生的电势分别为与，因球心处的电势等于球壳的电势，按电势叠加原理，即有

                                （2）

代入数值后可解得球壳外壁的电量为

因球壳内壁无电荷，所以球壳的电量等于球壳外壁的电量，即

                                 （3）

2．当球壳半径趋于时（点电荷仍在球壳外），设球壳外壁的电量变为，球壳外的电荷、与球壳外壁的电量在壳内产生的合场强仍为零，因球壳内仍无电荷，球壳内仍保持电势值为的等势区，则有

                 （4）

解得球壳外壁的电量

因为此时球壳内壁电量仍为零，所以球壳的电量就等于球壳外壁的电量，即

                               （5）
在到趋于的过程中，大地流向球壳的电量为

                           （6）

3．当点电荷穿过球壳，刚进入球壳内（导体半径仍为），点电荷在球壳内壁感应出电量－，因球壳的静电屏蔽，球壳内电荷与球壳内壁电荷－在球壳外产生的合电场为零，表明球壳外电场仅由球壳外电荷与球壳外壁的电荷所决定．由于球壳的静电屏蔽，球壳外电荷与球壳外壁的电荷在球壳内产生的合电场为零，表明对电荷与产生的合电场而言，球壳内空间是电势值为的等势区．与在球心处产生的电势等于球壳的电势，即

                                     （7）

解得球壳外壁电量

                        （8）

球壳外壁和内壁带的总电量应为

                        （9）

在这过程中，大地流向球壳的电量为

                                  （10）

这个结果表明：电荷由球壳外极近处的位置进入壳内，只是将它在球壳外壁感应的电荷转至球壳内壁，整个球壳与大地没有电荷交换．
    4．当球壳半径趋于时（点电荷仍在球壳外），令表示此时球壳外壁的电量，类似前面第3阶段中的分析，可得

                                     （11）

由此得

球壳的电量等于球壳内外壁电量的和，即
                         （12）

大地流向球壳的电量为

                         （13）

5．当点电荷穿过球壳，刚进入球壳内时（球壳半径仍为），球壳内壁的感应电荷变为－（＋），由于球壳的静电屏蔽，类似前面的分析可知，球壳外电场仅由球壳外壁的电量决定，即

                                           （14）

可得

球壳的总电量是

                      （15）

在这个过程中，大地流向球壳的电量是

                                  （16）

6．当球壳的半径由增至时，令表示此时球壳外壁的电量，有

                                           （17）

可得

球壳的总电量为

                     （18）

大地流向球壳的电量为

                （19）