Question

（2010?盐城三模）如图所示，固定于水平面的U型金属导轨abcd，电阻不计，导轨间距L=1.0m，左端接有电阻R=2Ω．金属杆PQ的质量m=0.2Kg，电阻r=1Ω，与导轨间动摩擦因数μ=0.2，滑动时保持与导轨垂直．在水平面上建立x0y坐标系，x≥0的空间存在竖直向下的磁场，磁感应强度仅随横坐标x变化．金属杆受水平恒力F=2.4N的作用，从坐标原点开始以初速度v₀=1.0m/s向右作匀加速运动，经t₁=0.4s到达x₁=0.8m处，g取10m/s²．
求：
（1）磁感应强度与横坐标x应满足的关系；
（2）金属杆运动到x₁处，PQ两点间的电势差；
（3）金属杆从开始运动到B=

3

2

T处的过程中克服安培力所做的功．

Answer 1

分析：（1）根据速度位移公式求解出加速度，求出位移为x时的速度和安培力，然后根据牛顿第二定律列式；
（2）PQ棒做切割磁感线运动，相当于电源，根据闭合电路欧姆定律列式求解；
（3）根据第一问的结论求解出末位置的位移，然后根据动能定理列式求解．

解答：解：（1）设金属杆运动的加速度为a，则
由x1=v0t+

1

2

a

t

2 1

得：a=5m/s²
杆运动到坐标x处的速度为v，则：v2-

v

2 0

=2ax
杆中产生感应电动势：E=BLv=BL

v 2 0 +2ax

杆受到的安培力：FA=BIL=B

E

R+r

L=

B2L2 v 2 0 +2ax

R+r

由牛顿第二定律得：F-μmg-F_A=ma
即：F-μmg-

B2L2 v 2 0 +2ax

R+r

=ma
代入数据得：B=

3 1+10x

（2）金属杆PQ运动到x₁处，速度v₁，磁感应强度B₁
由

v

2 1

-

v

2 0

=2ax1得：B₁=1T
此时杆中的电动势E₁=B₁Lv₁=3V
则PQ两点的电势差：U=

R

R+r

E1=2V
（3）当金属杆运动到B=

3

2

T处，由（1）知对应的坐标为x₂=1.5m，
速度v2=

v 2 0 +2ax2

=4m/s
设金属杆PQ从开始运动到B=

3

2

T处的过程中克服安培力做的功为W_A
根据动能定理：Fx2-μmgx2-WA=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 0

代入数据得：W_A=1.5J
答：（1）磁感应强度与横坐标x应满足的关系为B=

3 1+10x

；
（2）金属杆运动到x₁处，PQ两点间的电势差为2V；
（3）金属杆从开始运动到B=

3

2

T处的过程中克服安培力所做的功为1.5J．

点评：本题关键是根据运动学规律求解出加速度，然后根据牛顿第二定律列式求解出磁感应强度与位移的关系式，最后再结合闭合电路欧姆定律和动能定理列式分析．