Question

15．据媒体6 月3 日消息，科学家在太阳系发现一颗新天体“V774104”，其与地球的相似度为99.9%，科学家称这是有史以来发现与地球最接近的一颗“超级地球”．假设A 为“V774104”的同步卫星，离地高度为h₁；另一卫星B 的圆形轨道位于其赤道平面内，离地高度为h2（h₂＜h₁），某时刻A、B 两卫星恰好相距最远．已知该星球的半径为R，表面的重力加速度为g．
（1）求“V774104”自转的角速度ω₀
（2）如果卫星B 绕行方向与“V774104”自转方向相同，从该时刻开始，经过多长时间A、B 两卫星恰好第一次相距最近？

Answer 1

分析 （1）研究卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力及重力等于万有引力，列出等式表示出角速度．
（2）卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，当卫星B转过的角度与卫星A转过的角度之差等于π时，卫星第一次相距最近．

解答 解：（1）设同步卫星A的质量为${m}_{1}^{\;}$，“V774104”的质量为M，${m}_{2}^{\;}$为地面上一物体质量
$G\frac{M{m}_{1}^{\;}}{（R+{h}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}（R+{h}_{1}^{\;}）{ω}_{0}^{2}$
$G\frac{M{m}_{2}^{\;}}{{R}_{\;}^{2}}={m}_{2}^{\;}g$
解得：${ω}_{0}^{\;}=\frac{R}{R+{h}_{1}^{\;}}\sqrt{\frac{g}{R+{h}_{1}^{\;}}}$
（2）设卫星B的质量为${m}_{3}^{\;}$，角速度为ω，经过△t时间A、B两卫星恰好第一次相距最近
$G\frac{M{m}_{3}^{\;}}{（R+{h}_{3}^{\;}）_{\;}^{2}}={m}_{3}^{\;}（R+{h}_{2}^{\;}）{ω}_{\;}^{2}$
$（ω-{ω}_{0}^{\;}）△t=π$
解得：$△t=\frac{π}{R（\sqrt{\frac{g}{（R+{h}_{2}^{\;}）_{\;}^{3}}}-\sqrt{\frac{g}{（R+{h}_{1}^{\;}）_{\;}^{3}}}）}$
答：（1）“V774104”自转的角速度${ω}_{0}^{\;}$为$\frac{R}{R+{h}_{1}^{\;}}\sqrt{\frac{R}{R+{h}_{1}^{\;}}}$
（2）如果卫星B 绕行方向与“V774104”自转方向相同，从该时刻开始，经过时间$\frac{π}{R（\sqrt{\frac{g}{（R+{h}_{2}^{\;}）_{\;}^{3}}}-\sqrt{\frac{g}{（R+{h}_{1}^{\;}）_{\;}^{3}}}）}$A、B 两卫星恰好第一次相距最近

点评 本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．