（25分）如图所示，
轴竖直向上，
平面是一绝缘的、固定的、刚性平面。在
处放一带电量为
的小物块，该物块与一细线相连，细线的另一端
穿过位于坐标原点
的光滑小孔，可通过它牵引小物块。现对该系统加一匀强电场，场强方向垂直与
轴，与轴夹角为
（如所示）。设小物块和绝缘平面间的摩擦系数为
,且静摩擦系数和滑动摩擦系数相同。不计重力作用。现通过细线来牵引小物块，使之移动。在牵引过程中，我们约定：细线的端只准沿轴向下缓慢移动，不得沿轴向上移动；小物块的移动非常缓慢，在任何时刻，都可近似认为小物块处在力平衡状态。若已知小物块的移动轨迹是一条二次曲线，试求出此轨迹方程。
解析：
设所加匀强电场的场强为
，它在
方向和
方向的分量分别为
， 
。
由于物块带负电，电场作用于物块的电力的两个分量分别为
（1）
（2）
在
平面内，方向沿轴正方向．
垂直于平面，被绝缘平面的支持力所平衡，故物块对绝缘平面的正压力的大小
和的大小相等，即
绝缘平面作用于物块的摩擦力
（3）
的方向决定于物块移动的方向．
根据题意，物块在平面内的运动可看做是一种在力平衡下的缓慢移动．作用于物块的三个力、和线的拉力
都在平面内．物块在任一位置达到平衡时的受力情况如图所示。
为细线与
轴的夹角。把沿和方向分解得
用
和
表示的两个分量，物块平衡时，有
（4）
（5）
由（4）、（5）式得
注意到（3）式，得
得
或 
（6）
因要小物块缓慢移动，需要细线牵引，不符合题意，应舍去．因
，
，将代入（4）、（5）式，
有
摩擦力方向的斜率
（7）
是摩擦力方向与轴夹角的正切，即摩擦力方向的斜率，因摩擦力始终沿轨道的切线方向，故也就是轨道切线的斜率．下面，通过对（7）式的分析来寻找轨道方程．
当中一0，k－co即在起点A时，轨道的切线与x轴垂直
当
，
，即在起点
时，轨道的切线与轴垂直。
当
，，一种情况是小物块运动到轴上后，沿轴做直线运动到
点，但这与题设轨迹移动是一条二次曲线不符，因而它一定表示轨道在点的切线与轴垂直．
在二次曲线中，曲线上两点切线相互平行的只有椭圆或圆．又因为、两点的切线与它们的连线相垂直，这连线应为曲线的轴线，且在
轴上，另一轴在它的垂直平分线上且与轴平行。曲线与此轴线的交点的切线的斜率为0.代入（7）式得
，故该曲线为圆，其方程为
（8）
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