Question

19．2014年12月14日，北京飞行控制中心传来好消息，嫦娥三号探测器平稳落月．嫦娥三号接近月球表面过程可简化为三个阶段：一、距离月球表面一定的高度以v=1.7km/s的速度环绕运行，此时，打开七千五百牛顿变推力发动机减速，下降到距月球表面H=100米高处时悬停，寻找合适落月点；二、找到落月点后继续下降，距月球表面h=4m时速度再次减为0；三、此后，关闭所有发动机，使它做自由落体运动落到月球表面．已知嫦娥三号着陆时的质量为1200kg，月球表面重力加速度g′为1.6m/s²，月球半径为R，引力常量G，（计算保留2位有效数字）求：
（1）月球的质量（用g′、R、G字母表示）
（2）从悬停在100米处到落至月球表面，发动机对嫦娥三号做的功？
（3）从v=1.7km/s到悬停，若用10分钟时间，设轨迹为直线，则减速过程的平均加速度为多大？若减速接近悬停点的最后一段，以平均加速度在垂直月面的方向下落，求此时发动机的平均推力为多大？

Answer 1

分析 （1）嫦娥三号卫星在月球表面受到的重力等于万有引力，由此求出月球质量．
（2）应用动能定理可以求出发动机对嫦娥三号做的功．
（3）嫦娥三号从v=1.7km/s到悬停，视为匀减速运动，根据加速度定义求加速度，由牛顿第二定律求出发电机对平均推力．

解答 解：（1）根据在星体表面重力等于万有引力知  mg′=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，可得 M=$\frac{g′{R}^{2}}{G}$           
（2）由100m下降过程中到4m前发动机会做功，取100m和4m为初末状态，前后动能没变，由动能定理得：
  mg′（H-h）+W=0
所以：W=-mg′（H-h）=-1200×1.6×96J=-1.8×10⁵ J   
即发动机做功为-1.8×10⁵ J
（3）减速过程的平均加速度 a=$\frac{0-v}{t}$=$\frac{1.7×1{0}^{3}}{6000}$=-2.8 m/s²                              
由牛顿第二定律知
  mg′-F=ma
可得 F=m（g′-a）=5300 N
答：
（1）月球的质量为$\frac{g′{R}^{2}}{G}$．
（2）从悬停在100米处到落至月球表面，发动机对嫦娥三号做的功是-1.8×10⁵ J．
（3）减速过程的平均加速度为-2.8 m/s²．此时发动机的平均推力为5300N．

点评 解决本题的关键要掌握重力等于万有引力，可求天体的质量．分析清楚探测器的运动过程，由动力学基本规律处理．