Question

5．如图1所示，一光滑杆固定在底座上，构成支架，放置在水平地面上，光滑杆沿竖直方向，一轻弹簧套在光滑杆上．一套在杆上的圆环从距弹簧上端H处由静止释放，接触弹簧后，将弹簧压缩，弹簧的形变始终在弹性限度内．已知支架和圆环的质量均为m，重力加速度为g，不计空气阻力．

（1）求圆环刚接触弹簧时的动能E_k．
（2）如图1所示，取圆环刚接触弹簧时的位置为坐标原点O，取竖直向下为正方向，建立x轴．在圆环压缩弹簧的过程中，圆环的位移为x，加速度为a，在图2中定性画出a随x变化关系的图象．
（3）试论证当圆环运动到最低点时，地面对底座的支持力F_N＞3mg．

Answer 1

分析 （1）在圆环自由下落的过程中，重力势能转化为动能，由机械能守恒定律求解动能E_k．
（2）根据牛顿第二定律求得加速度a与圆环的位移x的关系式，再作出a-x图象．
（3）对照上题图象，求得图象与坐标轴所围面积，得到速度平方的变化量，得到最低点加速度与g的关系，再由牛顿第二定律证明即可．

解答 解：（1）在圆环自由下落的过程中，由机械能守恒定律得
    E_k=mgH
（2）设弹簧的劲度系数为k，根据牛顿第二定律得
   mg-kx=ma
解得  a=-$\frac{k}{m}$x+g
a-x图象如答图1所示．
（3）在答图2中，A点对应于圆环刚接触弹簧的位置，B点对应于圆环速度最大的位置，C点对应于圆环运动到的最低点．
由答图2可知，图象与坐标轴所围面积：
   S₁=$\frac{1}{2}（{v}_{B}^{2}-{v}_{A}^{2}）$
   S₂=$\frac{1}{2}（{v}_{B}^{2}-{v}_{C}^{2}）$=$\frac{1}{2}{v}_{B}^{2}$
可知，S₁＜S₂．
结合答图2可知，a_C＞g
根据牛顿第二定律得
对圆环：kx-mg=ma_C．
对底座：F_N-（kx+mg）=0
由于a_C＞g，所以得 F_N＞3mg．
答：
（1）圆环刚接触弹簧时的动能E_k是mgH．
（2）a-x图象如答图1所示．
（3）证明见上．

点评 解决本题的关键要灵活运用牛顿第二定律得到a-x图象，知道图象面积的意义，也可以根据简谐运动的特点证明第3问．