Question

某兴趣小组举行遥控赛车比赛，比赛路径如图所示．可视为质点的赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L=10m后，由B点进入半径R=0.4m的光滑竖直半圆轨道，并通过轨道的最高点C做平抛运动，落地后才算完成比赛．B是半圆轨道的最低点，水平直线轨道和半圆轨道相切于B点．已知赛车质量m=0.5Kg，通电后电动机以额定功率P=3W工作，赛车在水平轨道上受到的阻力恒为f=0.4N，之后在运动中受到的轨道阻力均可不计，g取10m/s²．试求：
（1）赛车能通过C点完成比赛，其落地点离B点的最小距离
（2）要使赛车完成比赛，电动机工作的最短时间．
（3）若赛车过B点速度v_B=8.0m/s，R为多少时赛车能完成比赛，且落地点离B点的最大距离．

Answer 1

分析：（1）小车做圆周运动，在最高点重力提供向心力时速度最小，由牛顿第二定律可以求出最小速度，离开C后做平抛运动，由平抛运动知识可以求出小车的水平位移．
（2）从A到C应用动能定理可以求出电动机的工作时间．
（3）由B到C由机械能守恒定律或动能定理求出到C的速度，离开C后小车做平抛运动，由平抛运动知识求出小车水平位移的表达式，然后求出最大水平位移．

解答：解：（1）赛车以最小速度通过最高点C，其落地点离B点的距离最小，在最高点C由牛顿第二定律得：mg=m

v 2 C

R

，解得：v_C=

gR

=2m/s，离开C后小车做平抛运动，
在水平方向：x=v_Ct，在竖直方向：2R=

1

2

gt²，解得：x=0.8m；
（2）设电动机工作的最短时间为t，赛车从A到C过程，由动能定理得：
Pt-fL-2mgR=

1

2

m

v

2 c

-0
解得：t=3s；
（3）设轨道半径为R，B到C过程赛车机械能守恒得：

1

2

m

v

2 B

=mg2R+

1

2

m

v

2 c

vc=

v 2 B -4Rg

，
赛车离开C点后做平抛运动，设水平位移为x，
在水平方向：x=v_Ct，在竖直方向：2R=

1

2

gt²，
解得：x=

v 2 B -4Rg

4R g

=

( v 2 B g -4R)4R

，
当

v 2 B

g

-4R=4R时，即R=0.80m时，最大水平位移为x_m=3.2m；
答：（1）赛车能通过C点完成比赛，其落地点离B点的最小距离为0.8m；
（2）要使赛车完成比赛，电动机工作的最短时间为3s．
（3）若赛车过B点速度v_B=8.0m/s，R为0.8m时赛车能完成比赛，且落地点离B点的最大距离为3.2m．

点评：分析清楚小车的运动过程，应用牛顿第二定律、动能定理、平抛运动知识即可正确解题．