Question

3．如图所示，空气中放有一个半径为R，折射率n＞$\sqrt{2}$的玻璃球，两细束相距d＜2R的平行光线相对一直径对称地射到球上，且两细束光线与球心共面，为使两细束光线在球内有实交点，求d与n之间必须满足的条件．

Answer 1

分析 若光线在球内恰好有实交点时，交于O点，此时θ₁=2θ₂．为使两细束光线在球内有实交点，则有θ₁＞2θ₂．由折射定律和几何知识结合求解．

解答 解：如图，若光线在球内恰好有实交点时，交于O点，此时θ₁=2θ₂．
为使两细束光线在球内有实交点，则有θ₁＞2θ₂…①
根据折射定律有 n=$\frac{sin{θ}_{1}}{sin{θ}_{2}}$…②
则 n＞$\frac{sin{2θ}_{2}}{sin{θ}_{2}}$=2cosθ₂=2$\sqrt{1-si{n}^{2}{θ}_{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{si{n}^{2}{θ}_{1}}{{n}^{2}}}$…③
由几何知识有 sinθ₁=$\frac{\frac{1}{2}d}{R}$…④
由③④得：n⁴＞4（n²-$\frac{{d}^{2}}{4{R}^{2}}$）
答：d与n之间必须满足的条件是n⁴＞4（n²-$\frac{{d}^{2}}{4{R}^{2}}$）．

点评 解决这类光学问题的关键是正确画出光路图，然后根据几何关系以及折射定律求解．