Question

大原子反应堆中，用石墨（碳）做减速剂使快中子变为慢中子，已知碳核的质量是中子质量的12倍，假设中子与碳核的碰撞是弹性的（即碰撞中不计能量损失），而且碰撞前碳核是静止的，
试求：（1）设碰撞前中子的动能为E₀，问经过一次碰撞后，中子的动能损失多少？
（2）至少经过多少次碰撞，中子的动能才能少于10^-6E₀（lg13=1.114，lg11=1.041）？

Answer 1

分析：（1）由题，中子与碳核发生弹性碰撞，遵守动量守恒和能量守恒，根据两个守恒定律列方程求出碰撞后中子的速度，再求解经过一次碰撞后，中子的动能损失．
（2）采用数学归纳法，分别分析中子与碳核第一次碰撞后、第二次碰撞后…，第n次碰撞后中子剩余的动能，寻找规律，列出通项，由数学知识求出次数．

解答：解：
（1）设中子的质量为m，速度为v₀，碳核的质量为M₀，二者碰撞后的速度分别为：v₁、v，则
根据动量守恒定律和能量守恒定律得
    mv₀=mv₁+Mv          ①

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

v

2

②
由①②可得：v1=-

11

13

v0
碰撞一次，中子的动能损失为：△E=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

m

v

2 1

=

1

2

m

v

2 0

[1-(

11

13

)2]=

48

169

E0
（2）中子与碳核第一次碰撞后剩余的动能为：E1=

1

2

m

v

2 1

=

1

2

m(-

11

13

v0)2]=(

11

13

)2E0
同理经过第二次碰撞后，中子剩余的动能为：E2=

1

2

m

v

2 2

=

1

2

m(

11

13

v1)2=(

11

13

)2×2E0
…
第n次碰撞后中子剩余的动能为：En=

1

2

m

v

2 n

=

1

2

m(

11

13

vn-1)2=(

11

13

)2nE0=10-6E0
有(

11

13

)2nE0=10-6E0，即(

11

13

)2n=10-6
两边取对数可得：2n（lg11-lg13）=-6
得：n=41.1≈42次
答：
（1）设碰撞前中子的动能为E₀，经过一次碰撞后，中子的动能损失是

48

169

E0；
（2）至少经过42次碰撞，中子的动能才能少于10^-6E₀．

点评：微观粒子的碰撞往往是弹性碰撞，遵守动量守恒定律和能量守恒定律两大守恒定律．本题难点是运用数学方法求解物理问题．