Question

13．一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替，如图所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆．在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体以3m/s水平抛出，某时刻，其竖直速度大小与水平速度大小恰好相等，g=10m/s²，则物体运动到该处的曲率半径为（　　）

• A． $\frac{9}{5}$$\sqrt{2}$m
• B． $\frac{9}{10}$m
• C． $\frac{9}{10}$$\sqrt{2}$m
• D． 1.8m

Answer 1

分析 根据速度的合成与分解的方法求出该时刻的速度的大小与方向，然后结合向心力的表达式即可求出曲率半径．

解答 解：当物体的竖直速度大小与水平速度大小恰好相等时，物体受到的大小：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{2{v}_{0}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}=3\sqrt{2}$m/s
物体的速度与水平方向之间的夹角：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{{v}_{0}}{{v}_{0}}=1$
所以物体的速度与水平方向之间的夹角θ=45°
设该处的曲率圆的半径为r，则：
$mgcos45°=\frac{m{v}^{2}}{r}$
所以：r=$\frac{m{v}^{2}}{mgcos45°}$=$\frac{（3\sqrt{2}）^{2}}{10×\frac{\sqrt{2}}{2}}=1.8\sqrt{2}$m
故选：A

点评 本题和数学的上的方程结合起来，根据方程来确定物体的曲率圆的曲率半径，题目新颖；注意该处的向心力为重力的一部分．