Question

2．天文观测到某行星有一颗以半径r、周期T环绕该行星做圆周运动的卫星，已知卫星质量为m，万有引力常量为G．求：
（1）该行星的质量M是多大？
（2）若该行星的半径为R，则该行星的第一宇宙速度是多大？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，结合轨道半径和周期求出行星的质量．
（2）根据行星表面万有引力提供向心力求解第一宇宙速度v．

解答 解：（1）根据万有引力定律和向心力公式：$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}r$
得行星质量$M=\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$
（2）在行星表面，万有引力等于重力：$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{{{v_1}^2}}{R}$
联立得：${v_1}=\frac{{2{π^{\;}}r}}{T}\sqrt{\frac{r}{R}}$
答：（1）该行星的质量M是$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）若该行星的半径为R，则该行星的第一宇宙速度是$\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{R}}$

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用，难度适中．