Question

（2009?宿迁模拟）如图所示，质量为m，电荷量为+q的带电粒子放在带电平行薄板靠近正极板处，无初速度释放后经电场直线加速穿过负极板小孔A，再过一小段时间后进入右侧有一半径为R的圆形边界的匀强磁场区域，圆形区域边界与负极板相切于C点，磁场方向垂直纸面向外．粒子进入磁场的初速度平行于直径CD，在磁场中运动了四分之一周期后出磁场，已知平行板间电压为U，两极板间距为d，负极板上A、C两点间距离为0.6R，不计重力，求：
（1）粒子进入磁场的初速度v₀的大小
（2）磁感应强度B的大小
（3）粒子从开始运动到出磁场过程的总时间t．

Answer 1

分析：（1）带电粒子在电场中做加速运动，由动能定理可求出粒子进入磁场时的速度；
（2）由题意利用几何关系可得出粒子的转动半径，由洛仑兹力充当向心力可得出磁感应强度的大小；
（3）粒子在电场中做匀加速直线运动，由运动学公式可求出运动的时间；在磁场根据周期公式和转过的角度可求出时间，总时间即两段时间之和．

解答：解：（1）电子在电场中加速，由动能定理可得：
Uq=

1

2

mv₀²；
解得：v₀=

2Uq m

；
（2）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由题意可知粒子离开磁场时应沿竖直方向，粒子在磁场中转过的圆心角为90°，AC=0.6R；由几何关系可知，O到A₁O₁的垂直距离为0.8R；
因△OO₁A≌△OO₁B，∠A₁O₁O=∠BO₁O=45°
则轨迹半径为：r=0.6R+0.8R=1.4R；
由洛仑兹力充当向心力可知：
Bqv=m

v2

r

解得：B=m

v

qr

=

5

7R

2Um q

； 
（3）粒子在电场中的运动时间为t₁，则有：

1

2

×

Uq

md

t

2 1

=d
解得：
t₁=

2md2 qU

；
AA₁间做匀速直线运动，AA₁间的距离为R-0.8R，则时间为：
t2=

0.2R

v0

=

R

5

m  2qU

而在磁场中的时间由：t₃=

90

360

×

2πm

Bq

=0.7πR

m  2qU

；
故总时间t=t₁+t₂=（2d+0.2R+0.7πR）

m  2qU

答：（1）初速度为

2Uq m

；
（2）磁感应强度为

5

7R

Um q

；
（3）总时间为（2d+0.2R+0.7πR）

m  2qU

点评：本题中粒子先在电场中做加速直线运动，后做直线运动，最后做匀速圆周运动．由运动学公式或动能定理可求得末速度及时间；而在磁场中做圆周运动，确定圆心和半径为解题的关键．