Question

【题目】如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常量为G。

（1）求两星球做圆周运动的周期；

（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。求T2与T1两者平方之比。

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】试题分析：双星问题中，A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，A和B有相同的角速度和周期，结合牛顿第二定律和万有引力定律即可求出运动的周期和T2与T1两者平方之比。

（1）A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等。且A、B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期。

因此有F＝mω2r＝Mω2R

半径关系为：r＋R＝L

联立解得：R＝，r＝

对A星球根据牛顿第二定律和万有引力定律得

解得：T＝。

（2）将地月看成双星，由（1）所求有：T1＝

将月球看做绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得：

解得：T2＝

所以T2与T1的平方比值为：