Question

如右图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于A点，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心，D是圆环上与M靠得很近的一点（DM远小于CM）．已知在同一时刻：a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点；d球从D点静止出发沿圆环运动到M点．则（　　）

A．a球最先到达M点

B．b球最先到达M点

C．c球最先到达M点

D．d球最先到达M点

Answer 1

分析：a、b、c三个小球均匀加速直线运动，d球的运动可等效成单摆运动，因DM远小于CM，其运动等效为简谐运动．由牛顿第二定律和运动学公式得到a、b、c三个球运动时间与圆的半径的关系，根据单摆的周期公式得到d球运动时间与圆的半径的关系，即可比较时间长短．

解答：解：设圆环轨道的半径为R，a、b、c、d四个球运动到M点所用时间分别为t₁、t₂、t₃、t₄．
对于a球：加速度为a_a=gsin45°，

2

R=

1

2

aa

t

2 1

，联立解得t₁=2

R g

对于b球：加速度为a_b=gsin60°，2R=

1

2

ab

t

2 2

，联立解得t₂=2

2 3

?

R g

对于c球：由R=

1

2

g

t

2 3

，得t₃=

2R g

对于d球：d球的运动与单摆的简谐运动类似，等效摆长等于R，其运动时间t₄=

1

4

T=

1

4

?2π

R g

根据数学知识可知，t₃最小，所以c球最先到达M点．
故选C

点评：本题要善于用相同的量表示小球运动时间，难点是将d球的运动等效成单摆运动．