Question

1．在竖直平面内有一由内径为r₁的光滑圆管弯曲而成的环形轨道，环形轨道半径R远远大于r₁，如图所示，有一质量为m的小球，直径r₂略小于r₁，可在圆管中运动．在最低点应给小球一个多大的初速度才能使小球在竖直环轨道内恰能完成圆周运动？

Answer 1

分析 以小球为研究对象，小球通过最高点时，有2种情况：①小球与管下壁接触，此时最小速度可为0，相当于圆周运动的杆模型，由机械能守恒可求得最低点的速度；②小球与管上壁接触，此时最小速度为重力提供向心力的速度，相当于圆周运动的绳模型，由向心力公式和机械能守恒可求得最低点的速度．

解答 解：小球在内径比它的直径略大的光滑圆管壁中完成圆周运动有两种可能：
①到达最高点时只与管下壁接触，此时最小速度可以为零．由惯性可完成下半周运动．
设这种情况下最低点的速度为v₀，
则小球从最低点到最高点的过程中机械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=mg•2R$
所以：v₀=$2\sqrt{gR}$
②到达最高点时只与管上壁接触，此时恰能完成圆周运动的条件为只有重力提供向心力，
设此时最高点的速度为v₁，最低点的速度为v₀′，
则由向心力公式得：mg=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
再由机械能守恒可得$\frac{1}{2}$mv₀′²-$\frac{1}{2}$mv₁²=mg2R，
结合以上两式解得最低点速度为v₀′=$\sqrt{5gR}$．
答：在最低点速度为$2\sqrt{gR}$或者$\sqrt{5gR}$时才能使小球在竖直环轨道内恰能完成圆周运动．

点评 本题设计巧妙，属于创新题，实质考查了圆周运动的两种模型，绳模型与杆模型．球与管下壁接触的临界条件对应杆模型，球与管上壁接触的临界条件对应绳模型．应熟记杆模型做圆周运动的最高点临界速度为0，绳模型做圆周运动的最高点临界速度为重力提供向心力时的速度．