Question

光滑的

1

4

圆弧轨道固定在竖直平面内，与水平轨道CE连接．水平轨道的CD段光滑、DE段粗糙．一根轻质弹簧一端固定在C处的竖直面上，另一端与质量为2m的物块b刚好在D点接触（不连接），弹簧处于自然长度．将质量为m的物块a从顶端F点静止释放后，沿圆弧轨道下滑．物块a与物块b第一次碰撞后一起向左压缩弹簧．已知圆弧轨道半径为r，

.

DE

=l，物块a、b与DE段水平轨道的动摩擦因数分别为μ₁=0.2和μ₂=0.4，重力加速度为g．物块a、b均可视为质点．求：
（1）物块a第一次经过E点时的速度是多少？
（2）试讨论l取何值时，a、b能且只能发生一次碰撞？

Answer 1

分析：（1）根据机械能守恒定律求出物块a第一次经过E点时的速度．
（2）根据动能定理和动量守恒定律求出a、b一起压缩弹簧时的速度，根据物块a到达D点的速度不为零，求出l的范围，以及知道a、b只发生一次碰撞，物块a滑上圆弧轨道又返回，最终停在水平轨道上P点，物块b在水平轨道上匀减速滑至P点也恰好停止．结合动能定理求出l的范围．

解答：解：（1）物块a由F到E过程中，由机械能守恒有：mgr=

1

2

m

v

2 1

解得第一次经过E点时的速度 v1=

2gr

（2）物块a从E滑至D过程中，由动能定理有：-μ1mgl=

1

2

m

v

2 D1

-

1

2

m

v

2 1

解得物块a在D点时的速度 v_D1=

2g(r-0.2l

)
物块a、b在D点碰撞，根据动量守恒有：mv_D1=3mv_D2
解得两物块在D点向左运动的速度vD2=

2g(r-0.2l)

3

a、b一起压缩弹簧后又返回D点时速度大小vD3=

2g(r-0.2l)

3

由于物块b的加速度大于物块a的加速度，所以经过D后，a、b两物块分离，同
时也与弹簧分离．
讨论：①假设a在D点时的速度v_D1=0，即 l=5r 
要使a、b能够发生碰撞，则l＜5r
②假设物块a滑上圆弧轨道又返回，最终停在水平轨道上P点，物块b在水平轨道上匀减速
滑至P点也恰好停止，设

.

PE

=x，则

.

DP

=l-x，根据能量守恒，
对a物块     μ1mg(l+x)=

1

2

m

v

2 D3

对b物块     μ22mg(l-x)=

1

2

2m

v

2 D3

由以上两式解得 x=

1

3

l
将x=

1

3

l代入  μ1mg(l+x)=

1

2

m

v

2 D3

解得  l=

5

13

r
要使a、b只发生一次碰撞，则l≥

5

13

r
综上所述，当5r＞l≥

5

13

r时，a、b两物块能且只能发生一次碰撞．
答：（1）物块a第一次经过E点时的速度是v1=

2gr

．
（2）当5r＞l≥

5

13

r时，a、b两物块能且只能发生一次碰撞．

点评：本题综合考查了机械能守恒定律、动量守恒定律和动能定理，对学生能力的要求较高，对于a、b能且只能发生一次碰撞，找出临界状况是解决本题的关键，对学生而言是一难点．