Question

10．如图所示的滑轮，它可以绕垂直于纸面的光滑固定水平轴O转动，轮上绕有轻质柔软细线，
线的一端系一质量为3m的重物，另一端系一质量为m，电阻为r的金属杆．在竖直平面内有间距为L的足够长的平行金属导轨PQ、EF，在QF之间连接有阻值为R的电阻，其余电阻不计，磁感应强度为B₀的匀强磁场与导轨平面垂直，开始时金属杆置于导轨下端QF处，将重物由静止释放，当重物下降h时恰好达到稳定速度而匀速下降．运动过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好，忽略所有摩擦，求：
（1）重物匀速下降的速度v；
（2）重物从释放到下降h的过程中，电阻R中产生的焦耳热Q_R；
（3）若将重物下降h时的时刻记作t=0时，从此时刻起，磁感应强度B逐渐减小，若此后金属杆中恰好不产生感应电流，则磁感应强度B怎样随时间t变化（写出B与t的关系式）．

Answer 1

分析 （1）重物匀速下降时，金属杆匀速上升，受力平衡．推导出安培力，由平衡条件列式求出速度v．
（2）重物从释放到下降h的过程中，重物的重力势能减小转化为杆的重力势能和动能、重物的动能及整个回路的内能，根据能量守恒求出整个回路产生的焦耳热，根据串联电路电流关系，求出电阻R中产生的焦耳热Q_R；
（3）当回路中总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流，此时棒将导轨做匀加速运动．根据磁通量不变，列式求B与t的关系式．

解答 解：（1）对金属棒，受到重力mg、向下的安培力F和向上的拉力T，由平衡条件有：
   T=mg+F
式中：T=3mg，F=B₀IL=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$
所以：v=$\frac{2mg（R+r）}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$
（2）设电路中产生的总焦耳热为Q，则有能量守恒关系得：
减少的重力势能等于增加的动能和焦耳热Q
即：3mgh=mgh+$\frac{1}{2}（3m）{v}^{2}$+Q_总
电阻R中产生的焦耳热 Q_R=$\frac{R}{R+r}{Q}_{总}$
所以：电阻R中产生的焦耳热Q_R为  Q_R=$\frac{2mghR}{R+r}$-$\frac{8{m}^{3}{g}^{2}（R+r）R}{{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$
（3）金属杆中恰好不产生感应电流
即磁通量不变 Φ₀=Φ_t，即
  B₀Lh=B_tL（h+vt+$\frac{1}{2}a{t}^{2}$）
又：a=$\frac{3mg-mg}{4m}$=0.5g
则磁感应强度B怎样随时间t变化为 B_t=$\frac{{B}_{0}h}{\frac{2mg（R+r）}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}t+\frac{1}{4}g{t}^{2}+h}$
答：
（1）重物匀速下降的速度v是$\frac{2mg（R+r）}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$；
（2）重物从释放到下降h的过程中，电阻R中产生的焦耳热Q_R是$\frac{2mghR}{R+r}$-$\frac{8{m}^{3}{g}^{2}（R+r）R}{{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$．
（3）磁感应强度B怎样随时间t变化为 B_t=$\frac{{B}_{0}h}{\frac{2mg（R+r）}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}t+\frac{1}{4}g{t}^{2}+h}$．

点评 本题分别从力和能量两个角度研究电磁感应现象，关键是计算安培力和分析能量如何变化，以及把握没有感应电流产生的条件：磁通量不变．