Question

【题目】在地球上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把质量为m的物体P置于弹簧上端，用力压到弹簧形变量为3x0处后由静止释放，从释放点上升的最大高度为4.5x0，上升过程中物体P的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。若在另一星球N上把完全相同的弹簧竖直固定在水平桌面上，将物体Q在弹簧上端点由静止释放，物体Q的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中虚线所示。两星球可视为质量分布均匀的球体，星球N半径为地球半径的3倍。忽略两星球的自转，图中两条图线与横、纵坐标轴交点坐标为已知量。求：

(1)地球表面和星球N表面重力加速度之比；

(2)地球和星球N的质量比；

(3)在星球N上，物体Q向下运动过程中的最大速度。

Answer 1

【答案】(1)2:1(2)2:9(3)

【解析】

（1）由图象可知，地球表面处的重力加速度为 g1=a0

星球N表面处的重力加速度为 g2=

则地球表面和星球N表面重力加速度之比为2∶1

（2）在星球表面，有

其中，M表示星球的质量，g表示星球表面的重力加速度，R表示星球的半径。则

M=

因此，地球和星球N的质量比为2∶9

（3）设物体Q的质量为m2，弹簧的劲度系数为k

物体的加速度为0时，对物体P：

mg1=k·x0

对物体Q：

m2g2=k·3x0

联立解得：m2=6m

在地球上，物体P运动的初始位置处，弹簧的弹性势能设为Ep，整个上升过程中，弹簧和物体P组成的系统机械能守恒。根据机械能守恒定律，有：

在星球N上，物体Q向下运动过程中加速度为0时速度最大，由图可知，此时弹簧的压缩量恰好为3x0，因此弹性势能也为Ep，物体Q向下运动3x0过程中，根据机械能守恒定律，有：

m2a23x0=Ep+

联立以上各式可得，物体P的最大速度为v=