Question

1．如图甲所示，M、N为竖直放置的彼此平行的两块平板，两板间的距离为d，两板中央各有一个孔O₁、O₂，且正对，在两板间有一垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化图象 （垂直纸面向里为正）如图乙所示，有一正离子在t=0时刻垂直于M板从小孔O₁进入磁场，已知正离子质量为m，带电量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T₀，速度为v₀=$\frac{4πd}{5{T}_{0}}$（不考虑磁场变化而产生的电场的影响，不计正离子所受重力，其中m，q，π，d，T₀为已知量）．求：

（1）磁感应强度B₀的大小；
（2）若磁感应强度随时间变化的周期也为T₀，正离子从$\frac{T}{4}$时刻开始进入，则打到N板上离O₂点的距离；
（3）若正离子从$\frac{T}{2}$时刻进入，在以后的运动过程中不会打到M板，则磁感应强度随间变化的周期T满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力，结合圆周运动的周期公式，可求出磁感应强度．
（2）求出半径，画出运动的轨迹，然后结合几何关系，从而求出打到N板上离O₂点的距离；
（3）若恰好不会打到M板，画出运动的轨迹图，然后结合几何关系即可正确解答．

解答 解：（1）正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力有：${B}_{0}q{v}_{0}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
做匀速圆周运动的周期为：${T}_{0}=\frac{2πR}{{v}_{0}}$  
联立两式得磁感应强度为：${B}_{0}=\frac{2πm}{q{T}_{0}}$
（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v₀的方向向右，

离子运动的半径：$R=\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}=\frac{m•\frac{4πd}{5{T}_{0}}}{q•\frac{2πm}{q{T}_{0}}}=\frac{2}{5}d$
由左手定则可知，正离子从$\frac{T}{4}$时刻开始进入，受到的洛伦兹力的方向向上，经过$\frac{T}{4}$后，离子转过$\frac{1}{4}$周期，偏转角是90°，所以速度的方向竖直向上；之后由于磁场的方向反向，所以受到的洛伦兹力的方向反向，离子向右偏转，直到打在N板上，如图：
由图可知，$\overline{OA}=d-2R=d-2×\frac{2}{5}d=\frac{1}{5}d=\frac{1}{2}R$
则由几何关系可得：$\overline{AB}=\sqrt{{R}^{2}-{\overline{OA}}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}R=\frac{\sqrt{3}}{5}d$，
打到N板上离O₂点的距离：
$\overline{{O}_{2}B}=R+\overline{AB}=\frac{2+\sqrt{3}}{5}d$
（3）若正离子从$\frac{T}{2}$时刻进入，在以后的运动过程中若恰好不会打到M板，则运动的轨迹如图：

由图中几何关系可得：
（2Rcosθ+R）sinθ=R
（或：Rsin2θ=R（1-sinθ））
整理得：θ≈20°
此时在$\frac{T}{2}$时间内粒子偏转的角度为（180°-2×20°）=140°，所以：
$\frac{\frac{1}{2}T}{\frac{1}{2}{T}_{0}}=\frac{140°}{180°}=\frac{7}{9}$
即：$T=\frac{7}{9}{T}_{0}$
若以后的运动过程中不会打到M板，则离子在半个周期内转过的角度不能大于140°，即$T≤\frac{7}{9}{T}_{0}$
答：（1）磁感应强度B₀的大小是$\frac{2πm}{q{T}_{0}}$；
（2）若磁感应强度随时间变化的周期也为T₀，正离子从$\frac{T}{4}$时刻开始进入，则打到N板上离O₂点的距离是$\frac{2+\sqrt{3}}{5}d$；
（3）若正离子从$\frac{T}{2}$时刻进入，在以后的运动过程中不会打到M板，则磁感应强度随间变化的周期T满足条件$T≤\frac{7}{9}{T}_{0}$．

点评 该题考查离子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，掌握牛顿第二定律的应用，理解几何关系的运用，同时注意运动的周期性以及离子运动的轨迹图的画法．