Question

用一条细线把一个大圆环挂起来．环上有两个质量为m的小环，它们可以在大环上无摩擦地滑动，（如图）．如两小环同时从大环顶点释放并沿相反方向自由滑下．若大环要被升起，它的质量M和小环质量m之比的最大值应该是多少？并求大环开始上升时的角度θ的余弦值是多少？．

Answer 1

分析：对其中任一小珠研究，根据机械能守恒求得速度与θ的关系式，小珠做圆周运动，指向圆心的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小珠所受的圆环的弹力，再根据牛顿第三定律得到小珠对圆环的弹力，圆环处于静止状态，由平衡条件求出N与θ的关系式，再根据数学知识分析极小值及相应的cosθ值；当圆环所受的合力向上时，有可能上升，根据上问的结果进行讨论．

解答：解：取小环为研究对象，大环给小环的作用力为N，则有：
mgcosθ+N=m

v2

R

…①
小环运动过程中，根据机械能守恒得：
mgR（1-cosθ）=

1

2

mv²…②
由①②解得：
N=mg（2-3cosθ）
所以两个小球对大环竖直向上的合力为2Ncosθ
要使大环能上升，必须有：
2Ncosθ＞Mg，则有：
2mg（2-3 cosθ）cosθ＞Mg
解得：当cosθ=

1

3

时大环开始上升
此时有：

M

m

＜

2

3

所以M：m的最大值为

2

3

，cosθ=

1

3

时候，大环开始上升
答：若大环要被升起，它的质量M和小环质量m之比的最大值应该是

2

3

，大环开始上升时的角度θ的余弦值是

1

3

．

点评：本题运用机械能守恒、圆周运动、力平衡条件结合推导出T的表达式，再根据数学知识求解N的极小值．