Question

3．用m表示地球通讯卫星的质量，h表示它离地面的高度，R₀表示地球的半径，g₀表示地球表面处的重力加速度，ω₀表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受地球对它的万有引力的大小为（　　）

• A． 0
• B． mω₀²（R₀+h）
• C． $\frac{m{{R}_{0}}^{2}{g}_{0}}{（{R}_{0}+h）^{2}}$
• D． m$\root{3}{{{R}_{0}}^{2}{g}_{0}{{ω}_{0}}^{4}}$

Answer 1

分析 由题地球的同步卫星的轨道半径为R=R₀+h．根据地球的半径和地球表面的重力加速度，由重力等于万有引力，可求出地球的质量．地球的同步卫星的角速度与地球的自转的角速度相同，轨道平面必须与赤道平面重合．由向心力公式求解向心力．

解答 解：地球的同步卫星的角速度与地球的自转的角速度ω相同，轨道半径为r=R+h，
则根据向心力公式得F=mω²（R+h）．
万有引力提供向心力，所以同步通讯卫星所受地球对它的万有引力的大小为mω²（R+h），
该卫星所受地球的万有引力为F=$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$，
mg₀=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$，得到GM=g₀R²，①
在卫星位置，由重力等于万有引力得
mg′=$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$ ②
由①②得：g′=$\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$g₀
通讯卫星所受万有引力的大小F=ma=mg′．
同步卫星做圆周运动由万有引力提供向心力得：
F=mω²（R+h）=mg′=$\frac{m{g}_{0}{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$
h+R=$\root{3}{\frac{{R}^{2}{g}_{0}}{{ω}^{2}}}$
所以F=mω²（R+h）=m$\root{3}{{{R}_{0}}^{2}{g}_{0}{{ω}_{0}}^{4}}$．故BD正确，AC错误；
故选：BD．

点评 该题为天体运动的典型题型，由万有引力提供向心力，再根据向心力的基本公式求解，解题过程中注意黄金代换式的应用．