Question

一弹性小球自4.9m高处自由落下，当它与水平桌面每碰撞一次后，速度减小到碰前的7/9，试计算小球从开始下落到停止运动所用的时间．（g取9.8m/s²）

Answer 1

分析：小球自h₀=4.9m高处自由落下，求出第一次落地时的速度，由题得到第二、三、四…次落地的速度．第一次小球做自由落体运动，以后撞地后，小球做竖直上抛运动，由t=

2v0

g

求竖直上抛的时间，根据规律，由数学知识求解总时间．

解答：解：小球第一次落地时速度为
v₀=

2gh0

=9.8m/s
由题小球第2，3，4…（n+1）次落地时速度分别为
v₁=

7

9

v0
v2=(

7

9

)2v0
v3=(

7

9

)3v0
 …
v_n=(

7

9

)nv0
小球第1下落时间为
t₀=

2h0 g

=1s
小球从第1次与地面相撞到第2次与地面相撞经过的时间为
t₁=

2v1

g

=

2× 7 9 v0

g

=2×

7

9

s
小球从第2次与地面相撞到第3次与地面相撞经过的时间为
小球从第2次与地面相撞到第3次与地面相撞经过的时间为
t₂=

2v2

g

=2×(

7

9

)2s
小球从第3次与地面相撞到第4次与地面相撞经过的时间为
t₃=

2v3

g

=2×(

7

9

)3s
 …
由数学归纳推理得
小球从第n次与地面相撞到第（n+1）次与地面相撞经过的时间为
t_n=2×(

7

9

)ns
所以小球运动的总时间为
t=t₁+t₂+t₃+…+t_n=1s+2×((

7

9

)+(

7

9

)2+(

7

9

)3+…+(

7

9

)n)=8s．
小球从开始下落到停止运动所经过的时间是8s．

点评：本题应用数学归纳法解决物理的能力，这是高考考查的重要内容之一．