Question

12．一个电阻为r、边长为L的正方形线圈abcd共N匝，线圈在磁感应强度为B的匀强磁场中绕垂直于磁感线的轴OO′以如图所示的角速度ω匀速转动，外电路电阻为R．
（1）线圈转动过程中感应电动势的最大值有多大？
（2）线圈平面与磁感线夹角为60°时的感应电动势为多大？
（3）设发电机由柴油机带动，其他能量损失不计，线圈转一周，柴油机做多少功？
（4）从图示位置开始，线圈转过60°的过程中通过R的电荷量是多少？
 （5）图中电流表和电压表的示数各是多少？

Answer 1

分析 （1）根据E_m=NBSω求解感应电动势最大值；
（2）根据e=E_mcosθ求解瞬时值；
（3）先根据P=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$求解电功率，然后根据能量守恒定律求解线圈转一周柴油机做的功；
（4）根据法拉第电磁感应定律求出平均感应电动势，从而得出平均感应电流，根据q=$\overline{I}$t求出通过电阻R的电荷量；
（5）电流表和电压表的示数都是有效值，先根据E=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$求解电动势的有效值，然后结合闭合电路欧姆定律求解感应电流的有效值．

解答 解：（1）感应电动势的最大值为：E_m=NBSω=NBωL²．
（2）线圈平面与B成60°角时的瞬时感应电动势为：
e=E_m•cos 60°=$\frac{1}{2}$NBωL²．
（3）电动势的有效值为：E=$\frac{Em}{\sqrt{2}}$     
电流的有效值为：I=$\frac{E}{R+r}$，
柴油机做的功转化为电能，线圈转一周柴油机做的功为：
W=EIt=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$t=$\frac{（\frac{1}{2}NBω{L}^{2}）^{2}}{R+r}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π{N}^{2}{B}^{2}ω{L}^{4}}{R+r}$．
（4）因为I_平均=$\frac{E{\;}_{平均}}{R+r}$=$\frac{N•△Φ}{△t（R+r）}$，
故电荷量为：q=I_平均•△t=$\frac{NBS•sin60°}{R+r}$=$\frac{\sqrt{3}NB{L}^{2}}{2（R+r）}$．
（5）电流表显示干路电流的有效值，则读数为：
I=$\frac{I{\;}_{m}}{\sqrt{2}}$=$\frac{NBω{L}^{2}}{\sqrt{2}（R+r）}$．
电压表显示路端电压的有效值，则读数为：
U=$\frac{U{\;}_{m}}{\sqrt{2}}$=$\frac{NBω{L}^{2}R}{\sqrt{2}（R+r）}$．
答：（1）线圈转动过程中感应电动势的最大值为NBωL²；
（2）线圈平面与磁感线夹角为60°时的感应电动势为$\frac{1}{2}$NBωL²；
（3）设发电机由柴油机带动，其他能量损失不计，线圈转一周，柴油机做功为$\frac{π{N}^{2}{B}^{2}ω{L}^{4}}{R+r}$；
（4）从图示位置开始，线圈转过60°的过程中通过R的电荷量是$\frac{\sqrt{3}NB{L}^{2}}{2（R+r）}$；
（5）图中电流表和电压表的示数分别为$\frac{NBω{L}^{2}}{\sqrt{2}（R+r）}$、$\frac{NBω{L}^{2}R}{\sqrt{2}（R+r）}$．

点评 本题关键明确瞬时值、有效值、最大值的求解方法，记住最大值公式E_m=NBSω，知道电表读数、求产生的热量均由交变电的有效值来确定，而涉及到耐压值时，则由最大值来确定．而通过某一电量时，则用平均值来求．