Question

3．如图甲所示，放在光滑水平地面上的长木板质量M=0.5kg，木板右端放一质量m=0.5kg的滑块（可视为质点），滑块与木板间的动摩擦因数μ=0.4；滑块的正上方有一悬点O，通过长l=0.8m的轻绳吊一质量m₀=1.0kg的小球．现将小球拉至与O点处于同一水平位置，由静止释放，小球摆至最低点时与滑块发生正碰，且m₀与m只碰一次，小球碰后的动能与其向上摆动高度的关系如图乙所示，g取10m/s²，求：
（1）碰前瞬间绳子对小球拉力的大小；
（2）碰后瞬间滑块速度的大小；
（3）要使滑块不会从木板上滑下，则木板的长度应滿足什么条件？

Answer 1

分析 1、由机械能守恒定律求得最低点速度，由牛顿第二定律求得绳子对小球拉力的大小；
2、根据小球与滑块碰撞过程动量守恒和碰撞前后的总动能关系求解；
3、当滑块和长木板共速时滑块恰好在木板的最右端，根据动量守恒和功能关系求解．

解答 解：（1）设小球摆动到最低点速度为v₀，绳对小球拉力为T，由机械能守恒定律得：
${m_0}gl=\frac{1}{2}{m_0}v_0^2$
代入数据解得：v₀=4m/s
由牛顿第二定律得：
$T-{m_0}g={m_0}\frac{v_0^2}{l}$
解得：$T={m_0}g+{m_0}\frac{v_0^2}{l}=30N$
（2）设碰后小球、滑块速度分别为v₁和v₂，
由图象可得：${E_k}={m_0}gh=\frac{1}{2}{m_0}v_1^2$
得：v₁=2m/s，或$v{{\;}_1^′}=-2m/s$
规定向右为正方向，小球与滑块碰撞过程动量守恒，得：
m₀v₀=m₀v₁+mv₂
代入数据解得：v₂=4m/s，或$v{{\;}_2^′}=12m/s$
计算碰撞前后的总动能可知：$\frac{1}{2}{m_0}v_0^2＞\frac{1}{2}{m_0}v_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2$，合理
而 $\frac{1}{2}{m_0}v_0^2＜\frac{1}{2}{m_0}v_1^{'2}+\frac{1}{2}mv_2^{'2}$，不合理
所以碰后滑块速度只能取：v₂=4m/s
（3）当滑块和长木板共速时滑块恰好在木板的最右端，设板长为l₁．由动量守恒得：
mv₂=（m+M）v₃
由功能关系得：
$μmgl=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}（m+M）v{{\;}_3^2}$
联立并代入数据解得：l=1m
答：（1）碰前瞬间绳子对小球拉力的大小是30N；
（2）碰后瞬间滑块速度的大小是4m/s；
（3）要使滑块不会从木板上滑下，则木板的长度应滿足l=1m．

点评 本题考查了求拉力、木板长度问题，分析清楚物体运动过程，应用动能定理、动量守恒定律、能量守恒定律即可正确解题，解题时要注意准确选择研究过程，注意正方向的选择．