Question

如图所示，在xoy坐标系中分布着四个有界场区，在第三象限的AC左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场B₁=0.5T，AC是直线y=-x—0.425（单位：m）在第三象限的部分，另一沿y轴负向的匀强电场左下边界也为线段AC的一部分，右边界为y轴，上边界是满足（单位：m）的抛物线的一部分，电场强度E=2.5N/C。在第二象限有一半径为r=0.1m的圆形磁场区域，磁感应强度B₂=1T，方向垂直纸面向里，该区域同时与x轴、y轴相切，切点分别为D、F，在第一象限的整个空间存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B₃=1T，另有一厚度不计的挡板PQ垂直纸面放置，其下端坐标P（0.1m,0.1m），上端Q在y轴上，且∠PQF=30°现有大量m=1×10^-6kg，q=-2×10^-4C的粒子（重力不计）同时从A点沿x轴负向以v₀射入，且v₀取0<v₀<20m/s之间的一系列连续值，并假设任一速度的粒子数占入射粒子总数的比例相同。 

（1）求所有粒子从第三象限穿越x轴时的速度；

（2）设从A点发出的粒子总数为N，求最终打在挡板PQ右侧的粒子数N¹ 。

 

Answer 1

【答案】

（1）设某速度为的粒子从A点入射后到达AC上的G点，因与AC成45⁰角，其对应圆心角为90⁰，即恰好经过四分之一圆周，故到达G点时速度仍为，方向沿Y轴正向.--------------------------------------------------------------------------- ---(２分)

   粒子在电场中沿Y轴正向加速运动，设G点坐标为G（x，y），刚好穿出电场时坐标为（x，），粒子穿出电场时速度为，在电场中运动的过程中，由动能定理得：

-------------------------------------------- (2分)

而         

又-------------------------------------------- (2分)

代入数据解得，

可见粒子穿出电场时速度大小与x无关。---------(２分) 

因，由

代入数据得：------------------- (1分)

由数学知识可知，k点坐标为k(-0.2m，-0.225m)，故从A点射出的所有粒子均从AK之间以20m/s的速度沿Y轴正向射出电场，在到达X轴之前粒子作匀速直线运动，故所有粒子从第三象限穿越X轴时的速度大小均为20m/s的速度沿Y轴正向。----------------------- (1分)

   （2）因为，故离子束射入时，离子束宽度刚好与2相等，设粒子在中运动轨道半径为

，解得=---------------(１分)

考察从任一点J进入的粒子，设从H穿出磁场，四边形为菱形，又因为 水平，而，故H应与F重合，即所有粒子经过后全部从F点离开进入磁场。对趋于的粒子，圆心角∠，故射入时速度趋于Ｙ轴负向；对趋于０的粒子，圆心角∠，故射入时速度趋于Ｙ轴正向，即进入的所有粒子速度与Y轴正向夹角在0~180⁰之间------------(４分)

由于=，所以，

由几何关系知：无限靠近Y轴负向射入的粒子轨迹如图所示，最终打在PQ板的右侧；--- ------------------(1分）

与Y轴负向成60⁰角的粒子刚好经过P点到达Q点;---------（1分）

因此与Y轴正向在0~120⁰之间从F点射出的粒子要么打在PQ板的左侧，要么打不到板上而穿越Y轴离开。由于是“大量”粒子，忽略打在P或Q的临界情况，所以最终打在挡板PQ右侧的粒子数

-------------------------------------- (3分)

【解析】略