Question

【题目】地心隧道是根据凡尔纳的《地心游记》所设想出的一条假想隧道，它是一条穿过地心的笔直隧道，如图所示。假设地球的半径为R，质量分布均匀，地球表面的重力加速度为g。已知均匀球壳对壳内物体引力为零。

(ⅰ)不计阻力，若将物体从隧道口静止释放，试证明物体在地心隧道中的运动为简谐运动；

(ⅱ) 理论表明：做简谐运动的物体的周期T=2π，其中，m为振子的质量，物体的回复力为F=－kx。求物体从隧道一端静止释放后到达另一端需要的时间t (地球半径R = 6400km，地球表面的重力加速为g = 10m/ s2 ）。

Answer 1

【答案】（i）F回=-G 又M′= 解得F回= 而为常数，即物体做简谐运动。（ii）t=2512s

【解析】

（i）以地心为平衡位置，设某时刻物体偏离平衡位置的位移为x，万有引力提供回复力，则有

F回=-G

又M′=

解得：

F回=

而为常数，即物体做简谐运动。

（ii）在地球表面，万有引力等于重力

地球的质量为M=

又T=2π

解得T=2π

物体从隧道一段静止释放后到达另一端需要的时间为半个周期，则

t=

代入数据，可得t=2512s