Question

如图所示，倾斜角θ=30°的光滑倾斜导体轨道（足够长）与光滑水平导体轨道连接．轨道宽度均为L=1m，电阻忽略不计．匀强磁场I仅分布在水平轨道平面所在区域，方向水平向右，大小B₁=1T；匀强磁场II仅分布在倾斜轨道平面所在区域，方向垂直于倾斜轨道平面向下，大小B₂=1T．现将两质量均为m=0.2kg，电阻均为R=0.5Ω的相同导体棒ab和cd，垂直于轨道分别置于水平轨道上和倾斜轨道上，并同时由静止释放．取g=10m/s²．

（1）求导体棒cd沿斜轨道下滑的最大速度的大小；

（2）若已知从开始运动到cd棒达到最大速度的过程中，ab棒产生的焦耳热Q=0.45J，求该过程中通过cd棒横截面的电荷量；

（3）若已知cd棒开始运动时距水平轨道高度h=10m，cd棒由静止释放后，为使cd棒中无感应电流，可让磁场Ⅱ的磁感应强度随时间变化，将cd棒开始运动的时刻记为t=0，此时磁场Ⅱ的磁感应强度为B₀=1T，试求cd棒在倾斜轨道上下滑的这段时间内，磁场Ⅱ的磁感应强度B随时间t变化的关系式．

Answer 1

（1）cd棒匀速运动时速度最大，设为v_m，棒中感应电动势为E，电流为I，

感应电动势：E=BLv_m，电流：I=，（2分）

由平衡条件得：mgsinθ=BIL，代入数据解得：v_m=1m/s；（2分）

（2）设cd从开始运动到达最大速度的过程中经过的时间为t，通过的距离为x，cd棒中平均感应电动势为E₁，平均电流为I₁，通过cd棒横截面的电荷量为q，

由能量守恒定律得：mgxsinθ=mv_m²+2Q，（2分）

电动势：E₁=，电流：I₁=，电荷量：q=I₁t，（2分）

代入数据解得：q=1C；（1分）

（3）设cd棒开始运动时穿过回路的磁通量为Φ₀，cd棒在倾斜轨道上下滑的过程中，设加速度大小为a，经过时间t通过的距离为x₁，穿过回路的磁通量为Φ，cd棒在倾斜轨道上下滑时间为t₀，则：Φ₀=B₀L，（1分）

加速度：a=gsinθ，位移：x₁=1/2(at²)（2分）

Φ=BL（﹣x₁），=1/2(at₀²)（2分）

解得：t₀=s，

为使cd棒中无感应电流，必须有：Φ₀=Φ，（2分）

解得：B= （t＜s）；（2分）