Question

9．如图所示，A、B两点在同一水平线上，B点斜面的延长线上，斜面倾角θ=45°．甲物体在A点以10m/s初速度水平抛出，恰好落在斜面顶端，并刚好沿斜面下滑，经过时间△t后，乙物体在B点以20m/s初速度水平抛出，正好在斜面上某点到与甲物体相碰．已知：甲物体与斜面的动摩擦因数是$\frac{3}{5}$，求：
（1）A、B两点间的距离；
（2）乙物体比甲物体后抛的时间△t．

Answer 1

分析 （1）抓住甲物体落在斜面上速度与斜面平行，求出竖直分速度，结合速度时间公式求出运动的时间，根据位移时间公式求出A与斜面顶端的高度差，结合几何关系求出A、B两点间的距离．
（2）根据牛顿第二定律和运动学公式求出甲物体在斜面上的时间，结合甲乙两物体平抛运动的时间求出乙物体比甲物体后抛的时间△t．

解答 解：（1）甲物体恰好沿斜面下滑，根据平行四边形定则得：$tan45°=\frac{{v}_{y}}{{v}_{A0}}$，
解得：v_y=v_A0=10m/s，
可知甲平抛落在斜面上的时间为：${t}_{1}=\frac{{v}_{y}}{g}=\frac{10}{10}s$=1s，
则A与斜面顶端的高度差为：h=$\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}×10×1m=5m$，
根据几何关系知，A、B两点间的距离为：△x=v_A0t₁-htan45°=10-5m=5m．
（2）乙物体落在斜面上，根据$tan45°=\frac{\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}}{{v}_{B0}{t}_{2}}=\frac{g{t}_{2}}{2{v}_{B0}}$，
解得：${t}_{2}=\frac{2{v}_{B0}}{g}=\frac{40}{10}s=4s$，
乙物体落在斜面上距离顶点的距离为：$s=\frac{{v}_{B0}{t}_{2}}{cos45°}-\frac{h}{sin45°}$=$\frac{20×4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}-\frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=75\sqrt{2}m$．
甲物体落在斜面上的初速度为：${v}_{A}=10\sqrt{2}m/s$，
加速度为：a=$gsin45°-μgcos45°=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}m/{s}^{2}$=$2\sqrt{2}m/{s}^{2}$，
根据s=${v}_{A}{t}_{3}+\frac{1}{2}a{{t}_{3}}^{2}$，
代入数据解得：t₃=5．
则有：△t=t₁+t₃-t₂=1+5-2s=4s．
答：（1）A、B两点间的距离为5m；
（2）乙物体比甲物体后抛的时间△t为4s．

点评 本题考查了平抛运动与匀变速直线运动的综合运用，两次平抛运动都有限制条件，抓住速度限制和位移限制，结合运动学公式灵活求解，难度中等．