Question

【题目】如图，一边长为L的正方形铜线框abcd可绕水平轴ab自由转动，一竖直向上的外力F作用在cd边的中点，整个线框置于方向竖直向上的均匀磁场中，磁感应强度大小随时间变化。已知该方形线框铜线的电导率(即电阻率的倒数)为σ，铜线的半径为r0，质量密度为ρ，重力加速度大小为g。

（1）当框平面与水平面abef的夹角为θ时，求该方形线框所受到的重力矩；

（2）当框平面与水平面abef的夹角为θ时，框平面恰好处于平衡状态。求此时线框中cd边所受到的磁场B的作用力的大小与外力的大小F之间的关系式；

（3）随着磁感应强度大小随时间的变化，可按照（2）中的关系式随时调整外力F的大小以保持框平面与水平面abef的夹角总为θ．在保持夹角θ不变的情形下，已知在某一时刻外力为零时，磁感应强度大小为B；求此时磁感应强度随时间的变化率││。

Answer 1

【答案】（1）2L2ρgπr02 cosθ；（2）安培力水平向左时：F安=2Lρgπr02 cotθ－Fcotθ；安培力水平向右时：F安= Fcotθ－2Lρgπr02 cotθ；（3）

【解析】

（1）该方形线框的质量

m=ρV=ρS4L=4Lρπr02

方形线框的重力相对于AB边的力矩为

Mg=mgcosθ=2L2ρgπr02 cosθ

（2）由于电流方向未知，所以引起的安培力方向及其力矩方向均未知，故需要分类讨论

情况1：安培力水平向左，力矩

M安+MF=Mg

M安=2L2ρgπr02 cosθ－FL cosθ

又因为

M安=F安Lsin θ

联立得

F安=2Lρgπr02 cotθ－Fcotθ

情况2：安培力水平向右，同理 力矩

M安+ Mg =MF

得：

F安= Fcotθ－2Lρgπr02 cotθ

（3）磁通量

φ(θ)=L2Bcosθ

感应电动势

ε==L2cosθ││

方形线框的电阻R，由电阻定律有

R=ρ

该方形线框上的感应电流为

i=cosθ││

cd边所受到的安培力的大小为

FA=iBL=cosθ││

因为要外力F等于零，所以是第（2）小题中的第1种情况

││=