Question

16．在天文学中，把两颗相距较近的恒星叫双星，已知两恒星的质量分别为m和M，两星之间的距离为L，两恒星分别围绕共同的圆心作匀速圆周运动，如图所示，求：
（1）两颗恒星运动的轨道半径r和R；
（2）两颗恒星运动周期．

Answer 1

分析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出轨道半径之比，进一步计算轨道半径大小，再求解角速度的大小

解答 解：对质量为m的恒星有$G\frac{Mm}{{l}_{\;}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}r$
对质量为M的恒星有$G\frac{Mm}{{l}_{\;}^{2}}=M（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}R$
根据几何关系：r+R=L
由以上三式解得 $r=\frac{M}{M+m}l$ 
$R=\frac{m}{M+m}l$
$T=2π\sqrt{\frac{{l}_{\;}^{3}}{G（M+m）}}$
答：（1）两个恒星运动的轨道半径等于$\frac{M}{M+m}l、\frac{m}{M+m}l$
（2）两颗恒星运动周期为$2π\sqrt{\frac{{l}_{\;}^{3}}{G（M+m）}}$

点评 解决本题的关键掌握双星模型系统，知道它们靠相互间的万有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．