Question

10．小刘冋学设计了一个如图所示的游乐模型，竖直高度为R的竖立圆筒轨道衔接一个半径为2R的四分之一圆型内轨，在圆筒的底部安装有由高强度弹簧构成的弹射装置，此装置在很短的时间内能把安全囊（包括在里面的游人）以一定的速度弹出，使安全囊从圆内轨最高点P水平飞出，接着飞入如图所示的缓冲装置，安全囊质量为m （当作质点），将缓冲装罝的纵截面看作是两个斜面AB、CD和一段光滑圆弧BC组成，安全囊与斜面间的动摩擦因数为0.25，两斜面倾角θ为37°．AB=CD=2R，A、D等高，D端固定一小挡板，与其碰撞不损失机械能．安全囊始终在同一个竖平面内运动．利用来回运动使其减速，重力加速度为g，圆筒轨道和圆型内轨均不计摩擦．
（1）如果安全囊恰好能经P点飞出，且恰好沿AB斜面进入缓冲装置，应调节缓冲装置底部支架高度使斜面的A、D点离地高为多少？
（2）接（1）问，假设高强度弹簧构成的弹射装置行程很小，可以认为零，即安全囊离开地面时的起点高度近似为零，则弹射装置至少需要具有多少弹性势能？
（3）接（1）问，求安全囊在缓冲装置斜面AB和CD上通过的总路程．

Answer 1

分析 （1）在P点安全囊只受到重力的作用，重力恰好提供向心力，由此求出P点的速度；安全囊到达A时速度的方向沿沿AB的方向，根据运动的合成与分解求出竖直方向的分速度，再由运动学的公式与几何关系即可求出A的高度；
（2）根据在P点安全囊的机械能，结合机械能守恒定律即可求出弹簧的弹性势能；
（3）由速度的合成与分解求出安全囊到达A点的速度，再由功能关系即可求出总路程．

解答 解：（1）在P点安全囊只受到重力的作用，重力恰好提供向心力，则：
mg=$\frac{m{v}_{P}^{2}}{2R}$
得P点的速度：${v}_{p}=\sqrt{2gR}$
安全囊到达A时速度的方向沿沿AB的方向，则：${v}_{y}={v}_{p}tanθ=0.75\sqrt{2gR}$
所以A、D点距离对面的高度：h=3R-$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=$\frac{39}{16}R$；
（2）在P点安全囊的机械能为：E=E_P+E_K=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}+mg•3R$=4mgR
由机械能守恒定律即知弹簧的弹性势能：E_弹=4mgR
（3）安全囊到达A点的速度：${v}_{A}=\frac{{v}_{P}}{cosθ}=\frac{\sqrt{2gR}}{cos37°}=\frac{5}{4}\sqrt{2gR}$
假设经过一个来回能到达A，则：${E}_{kA}′=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-μmgcosθ•8R$
代入数据可知：E_kA′＜0，显然安全囊不能到达A点．
设安全囊在AB、CD之间的总路程为s，由功能关系得：$mg•2Rsinθ+\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}=μmgcosθ$
代入数据得：s=$\frac{221}{16}R$
答：（1）如果安全囊恰好能经P点飞出，应调节缓冲装置底部支架高度使斜面的A、D点离地高为$\frac{39}{16}R$；
（2）弹射装置至少需要具有的弹性势能是4mgR；
（3）安全囊在缓冲装置斜面AB和CD上通过的总路程是$\frac{221}{16}R$．

点评 该题涉及的过程比较多，主要考查运动的合成与分解、机械能守恒与功能关系，解答的关键是正确把握各小问对应的过程与状态．