Question

随着越来越高的摩天大楼在各地的落成，至今普遍使用的钢索悬挂式电梯已经渐渐地不适用了。这是因为钢索的长度随着楼层的增高而相应增加，这样这些钢索会由于承受不了自身的重量，还没有挂电梯就会被扯断为此，科学技术人员正在研究用磁动力来解决这个问题。如图所示就是一种磁动力电梯的模拟机，即在竖直平面上有两根很长的平行竖直轨道，轨道间有垂直于轨道平面的匀强磁场B₁和B₂，且B₁和B₂的大小相等，方向相反，即B₁=B₂=1 T，两磁场始终竖直向上做匀速运动，电梯轿厢固定在如图所示的一个用超导材料制成的金属框abcd内（电梯轿厢在图中未画出），并且与之绝缘。电梯载人时的总质量为5×10³ kg，所受阻力F_f=500 N，金属框垂直于轨道的边长L_cd=2 m，两磁场的宽度均与金属框的边长L_ad相同，金属框在整个回路的电阻R=9.5×10^-4 Ω，假如设计要求电梯以v₁=10 m/s的速度向上匀速运动，g=10 m/s²，那么：
（1）磁场向上运动速度v₀应该为多大？
（2）在电梯向上做匀速运动时，为维持它的运动，外界必须提供能量，这些能量是由谁提供的？此时系统的效率为多少？

Answer 1

解：（1）当电梯向上匀速运动时，感应电动势为E=2B₁L_cd（v₀-v₁）
金属框中感应电流大小为
金属框所受安培力F=2B₁IL_cd
安培力大小与重力、阻力之和相等，所以F=mg+F_f
求得：v₀=13 m/s
（2）这些能量是由磁场提供的
磁场提供的能量分为两部分，一部分转变为金属框的内能，另一部分克服电梯的重力和阻力做功
当电梯向上做匀速运动时，金属框中感应电流由（1）知：I=1.26×10⁴ A
金属框中的热功率为：P₁=I²R=1.51×10⁵W
而电梯的有用功率为：P₂=mgv₁=5×10⁵W
阻力的功率为：P₃= Ffv₁=5×10³ W
从而系统的效率