Question

1．如图所示，质量为m的小球用轻绳悬挂于O点，轻绳与竖直方向的夹角为θ，小球自A处静止释放，小球到达B点时，轻绳恰好断裂．已知B点、地面上的O′点都在悬挂点O的正下方，且OO′的距离为h，求：
（1）轻绳最大承受力为多大？
（2）若只改变绳长，且绳的最大承受力不变，问绳长为多少时，小球落地点到地面上O′点的水平距离最大？最大的水平距离为多少？

Answer 1

分析 （1）从A到B的过程中，根据动能定理列式，根据在最低点，合力提供向心力，运用牛顿第二定律求出最大拉力．
（2）根据最大拉力，通过牛顿第二定律求出绳断后的速度与绳长的关系，根据平抛运动求出平抛运动水平位移的表达式，通过数学方法二次函数求极值，求出l为多少时，x最大．

解答 解：（1）设绳长为l，绳能承受的最大拉力为F_m，在B点，根据向心力公式得：
${F}_{m}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{l}$，
从A到B的过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=mgl（1-cosθ）$
解得：F_m=3mg-2mgcosθ．
（2）绳断时球的速度为v₂．
有：${F}_{m}-mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{l′}$，解得${v}_{2}=\sqrt{2g（1-cosθ）l′}$．
绳断后球做平抛运动，竖直位移为h-l′，水平位移为x，时间为t₂．
有：$h-l′=\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$，x=v₂t₂．
得$x=2\sqrt{（1-cosθ）（hl′-l{′}^{2}）}$
当l=$\frac{h}{2}$时，x有极大值，最大${x}_{max}=h\sqrt{1-cosθ}$．
答：（1）轻绳最大承受力为3mg-2mgcosθ；
（2）若只改变绳长，且绳的最大承受力不变，绳长为$\frac{h}{2}$时，小球落地点到地面上O′点的水平距离最大，最大的水平距离为$h\sqrt{1-cosθ}$．

点评 本题综合了平抛运动和圆周运动两个运动，关键知道平抛运动在竖直方向和水平方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源．