Question

如题图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球A、B质量分别为m、βm(β为待定系数)。A球从工边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为,碰撞中无机械能损失。重力加速度为g。试求：

(1)待定系数β;

(2)第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力;

(3)小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度。

　

Answer 1

解（1）由  mgR= mgR/4+ βmgR/4  得 ：β=3

（2）设 A、B 碰撞后的速度分别为 v₁、v₂，则 ：1/2mv₁²=mgR/4   1/2βmv₂² = βmgR/4

设向右为正、向左为负，解得

 ，方向向左

，方向向右

设轨道对 B 球的支持力为 N， B 球对轨道的压力为N′，方向竖直向上为正、 向下为负.

则：

方向竖直向下。

（3）设 A、B 球第二次碰撞刚结束时的速度分别为 V₁、V₂，则 ：

   解得

（另一组解：V₁=-v₁，V₂=-v₂ 不合题意，舍去）

由此可得：

当 n为奇数时，小球 A、B 在第 n次碰撞刚结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同；

当 n为偶数时，小球 A、B 在第 n次碰撞刚结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同；